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第七章 非线性控制系统分析

练习题及答案

7-1 设一阶非线性系统的微分方程为

???x?x3 x试确定系统有几个平衡状态，分析平衡状态的稳定性，并画出系统的相轨迹。 解 令 得

?x?x3?x(x2?1)?x(x?1)(x?1)?0

系统平衡状态

xe?0,?1,?1

其中：xe?0 ：稳定的平衡状态；

xe??1,?1 ：不稳定平衡状态。

计算列表，画出相轨迹如图解7-1所示。 -2 -1 -6 0 11 2 0 0 0 1 0 1 2 0 6 2 11 图解7-1 系统相轨迹

可见：当x(0)?1时，系统最终收敛到稳定的平衡状态；当x(0)?1时，系统发散；x(0)??1时，x(t)???; x(0)?1时，。

?~x平面上任意分布。 注：系统为一阶，故其相轨迹只有一条，不可能在整个x

7-2 试确定下列方程的奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。

??x?x?x?0 (1) ? (2) ???x1?x1?x2

?2?2x1?x2?x 解 （1） 系统方程为

???:x???x??x?0(x?0)???:x???x??x?0(x?0)

令&x&?x&?0，得平衡点：xe?0。 系统特征方程及特征根：

?1 ???:s2?s?1?0,s31,2???j(稳定的焦点)

?22???:s2?s?1?0,s1,2??1.618,?0.618(鞍点)?x??f(x,x?)??x??x,dx?x???x??x dx??dx?x?

dx??1?x?,x??11??x??x???I:???1?1 ??(x?0)

???II:??1??1(x?0)计算列表 ? -∞ -3 -1 -1/3 0 1/3 1 3 ∞ x?0:???1?1? -1 -2/3 0 2 -∞ -4 -2 -4/3 -1 x?0:???1?1? -1 -4/3 -2 -4 ∞ 2 0 -2/3 -1

用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2（a）所示。

图解7-2（a）系统相平面图

（2） x?1?x1?x2 x?2?2x1?x2 由式①： ③

①

② ???式③代入②： (?x1?x1)?2x1?(x1?x1)

即 ④ 令 得平衡点： xe?0 由式④得特征方程及特征根为 s2?2s?1?0画相轨迹，由④式

?1,2???2.414（鞍点）

??0.414?dx1???x1??2x1?x1 dxx1? x ?1??2?? ?x1?x1 计算列表

? =1/(-2) 2 ∞ 2 3 1 ∞ 0 1 -1 -2 2 ∞ 用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2（b）所示。

?x?sinx?0，试确定奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制7-3 已知系统运动方程为 ?相平面图。

??x?x?0 得 解 求平衡点，令?sinx?0

平衡点 )。

将原方程在平衡点附近展开为台劳级数，取线性项。

?设 F(x)??x?sinx?0

??x??x?0????x??x?0???xe?k?xe?k?(k?0,?2,?4,?)(k??1,?3,?5,?)

特征方程及特征根：