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2．向量组线性表示与等价的有关结论：

1） 一个线性无关的向量组不可能由一个所含向量个数比它少的向量组线性表示。 2） 如果向量组 可由向量组 线性表示，则有

3） 等价的向量组具有相同的秩，但不一定有相同个数的向量； 4） 任何一个向量组都与它的极大线性无关组等价。 3．常见的线性无关组：

1） 齐次线性方程组的一个基础解系； 2） 、 、 这样的单位向量组； 3） 不同特征值对应的特征向量。 4．关于秩的一些结论： 1） ； 2） ； 3） ； 4） ；

5）若有 、 满足 ，则 ； 6）若 是可逆矩阵则有 ； 7）若 可逆则有 ； 8） 。

4．线性方程组的解：

1） 非齐次线性方程组 有唯一解则对应齐次方程组 仅有零解；

2）若 有无穷多解则 有非零解； 3）若 有两个不同的解则 有非零解；

4）若 是 矩阵而 则 一定有解，而且当 时有唯一解，当 时有无穷多解； 5）若 则 没有解或有唯一解。

四、特征值与特征向量

相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点。其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容——既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关，“牵一发而动全身”。本章知识要点如下： 1．特征值和特征向量的定义及计算方法 就是记牢一系列公式如 、 、 和 。 常用到下列性质：

若 阶矩阵 有 个特征值 ，则有 ；

若矩阵 有特征值 ，则 、 、 、 、 、 分别有特征值 、 、 、 、 、 ，且对应特征向量等于 所对应的特征向量； 2．相似矩阵及其性质

定义式为 ，此时满足 、 、 ，并且 、 有相同的特征值。

需要区分矩阵的相似、等价与合同：矩阵 与矩阵 等价（ ）的定义式是 ，其中 、 为可逆矩阵，此时矩阵 可通过初等变换化为矩阵 ，并有 ；当 中的 、 互逆时就变成了矩阵相似（ ）的定义式，即有 ；矩阵合同的定义是 ，其中 为可逆矩阵。

由以上定义可看出等价、合同、相似三者之间的关系：若 与 合同或相似则 与 必等价，反之不成立；合同与等价之间没有必然联系。 3．矩阵可相似对角化的条件

包括两个充要条件和两个充分条件。充要条件1是 阶矩阵 有 个线性无关的特征向量；充要条件2是 的任意 重特征根对应有 个线性无关的特征向量；充分条件1是 有 个互不相同的特征值；充分条件2是 为实对称矩阵。 4．实对称矩阵及其相似对角化

阶实对称矩阵 必可正交相似于对角阵 ，即有正交矩阵 使得 ，而且正交矩阵 由 对应的 个正交的单位特征向量组成。

可以认为讨论矩阵的相似对角化是为了方便求矩阵的幂：直接相乘来求 比较困难；但如果有矩阵 使得 满足 （对角矩阵）的话就简单多了，因为此时

而对角阵 的幂 就等于 ，代入上式即得 。引入特征值和特征向量的概念是为了方便讨论矩阵的相似对角化。因为，不但判断矩阵的相似对角化时要用到特征值和特征向量，而且 中的 、 也分别是由 的特征向量和特征值决定的。 五、二次型

本章所讲的内容从根本上讲是第五章《特征值和特征向量》的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵 存在正交矩阵 使得 可以相似对角化”，其过程就是上一章相似对角化在 为实对称矩阵时的应用。 本章知识要点如下：

1．二次型及其矩阵表示。 2．用正交变换化二次型为标准型。 3．正负定二次型的判断与证明。

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学习线性代数总结

2009年06月14日 星期日 上午 11:12

学习线性代数总结

线性代数与数理统计已经学完了，但我认为我们的学习并没有因此而结束。我们应该总结一下这门课程的学习的方法，并能为我们以后的学习和工作提供方法。这门课程的学习目标：《线性代数》是物理系等专业的一门重要的基础课，其主要任务是使学生获得线性代数的基本思想方法和行列式、线性方程组、矩阵论、二次型、线性空间、线性变换等方面 的系统知识，它一方面为后继课程（如离散数学、计算方法、等课程）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的思维能力，开发学生智能、加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）及培养学生创造型能力，培养学生的抽象思维和逻辑推理能力等重要作用。同时随着计算机及其应用技术的飞速发展，很多实际问题得以离散化而得到定量的解决。作为离散化和数值计算理论基础的线性代数，为解决实际问题提供了强有力的数学工具。