内容发布更新时间 : 2024/11/5 11:39:54星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
② 当 可逆时, 的全部特征值为 , 的全部特征值为 .
√ √
与 相似 （ 为可逆阵） 记为：
√ 相似于对角阵的充要条件： 恰有 个线性无关的特征向量. 这时, 为 的特征向量
拼成的矩阵， 为对角阵,主对角线上的元素为 的特征值. √ 可对角化的充要条件： 为 的重数. √ 若 阶矩阵 有 个互异的特征值,则 与对角阵相似.
与 正交相似 （ 为正交矩阵） √ 相似矩阵的性质：① 若 均可逆
②
③ （ 为整数）
④ ,从而 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即: 是 关于 的特征向量, 是 关
于 的特征向量.
⑤ 从而 同时可逆或不可逆
⑥ ⑦
√ 数量矩阵只与自己相似. √ 对称矩阵的性质：
① 特征值全是实数,特征向量是实向量；
② 与对角矩阵合同；
③ 不同特征值的特征向量必定正交； ④ 重特征值必定有 个线性无关的特征向量；
⑤ 必可用正交矩阵相似对角化（一定有 个线性无关的特征向量, 可能有重的特征值,重
数= ）.
可以相似对角化 与对角阵 相似. 记为： （称 是 的相似标准型）
√ 若 为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数（重数重复计算） .
√ 设 为对应于 的线性无关的特征向量,则有：
.
√ 若 , ,则： . √ 若 ,则 , .
二次型 为对称矩阵 与 合同 . 记作： （ ）
√ 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数.
√ 两个矩阵合同的充分条件是：
√ 两个矩阵合同的必要条件是： √ 经过 化为 标准型.
√ 二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由 惟
一确定的.
√ 当标准型中的系数 为1，-1或0时,则为规范形 .
√ 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.
√ 任一实对称矩阵 与惟一对角阵 合同. √ 用正交变换法化二次型为标准形: ① 求出 的特征值、特征向量； ② 对 个特征向量单位化、正交化；
③ 构造 （正交矩阵）, ；
④ 作变换 ,新的二次型为 , 的主对角上的元素 即为 的特征值.
正定二次型 不全为零， . 正定矩阵 正定二次型对应的矩阵. √ 合同变换不改变二次型的正定性. √ 成为正定矩阵的充要条件（之一成立）：
① 正惯性指数为 ； ② 的特征值全大于 ； ③ 的所有顺序主子式全大于 ； ④ 合同于 ，即存在可逆矩阵 使 ； ⑤ 存在可逆矩阵 ，使 （从而 ）； ⑥ 存在正交矩阵，使 （ 大于 ）.
√ 成为正定矩阵的必要条件： ； .
b b s . k ao y a n . c o m
内容相互纵横交错 线性代数复习小结
概念多、定理多、符号多、运算规律多、内容相互纵横交错，知识前后紧密联系是线性代数课程的特点，故考生应充分理解概念，掌握定理的条件、结论、应用，熟悉符号意义，掌握各种运算规律、计算方法，并及时进行总结，抓联系，使学知识能融会贯通，举一反三，根据考试大纲的要求，这里再具体指出如下： 行列式的重点是计算，利用性质熟练准确的计算出行列式的值。
矩阵中除可逆阵、伴随阵、分块阵、初等阵等重要概念外，主要也是运算，其运算分两个层次，一是矩阵的符号运算，二是具体矩阵的数值运算。例如在解矩阵方程中，首先进行矩阵的符号运算，将矩阵方程化简，然后再代入数值，算出具体的结果，矩阵的求逆（包括简单的分块阵）（或抽象的，或具体的，
或用定义，或是用公式 A -1= 1 A*，或 A用初等行变换），A和A*的关系，矩阵乘积的行列式，方阵的幂等也是常考的内容之一。
关于向量，证明（或判别）向量组的线性相关（无关），线性表出等问题的关键在于深刻理解线性相关（无关）的概念及几个相关定理的掌握，并要注意推证过程中逻辑的正确性及反证法的使用。 向量组的极大无关组，等价向量组，向量组及矩阵的秩的概念，以及它们相互关系也是重点内容之一。用初等行变换是求向量组的极大无关组及向量组和矩阵秩的有效方法。
在 Rn中，基、坐标、基变换公式，坐标变换公式，过渡矩阵，线性无关向量组的标准正交化公式，应该概念清楚，计算熟练，当然在计算中列出关系式后，应先化简，后代入具体的数值进行计算。 行列式、矩阵、向量、方程组是线性代数的基本内容，它们不是孤立隔裂的，而是相互渗透，紧密联系的，例如 ?OA?O≠0〈===〉A是可逆阵〈===〉r（A）=n(满秩阵)〈===〉A的列（行）向量组线性无关〈===〉AX=0唯一零解〈===〉AX=b对任何b均有（唯一）解〈===〉A=P1 P2 ?PN，其中PI(I=1,2,?，N)是初等阵〈===〉r(AB)=r(B)<===>A初等行变换
I〈===〉A的列（行）向量组是Rn的一个基〈===〉A可以是某两个基之间的过渡矩阵等等。这种相互之间的联系综合命题创造了条件，故对考生而言，应该认真总结，开拓思路，善于分析，富于联想使得对综合的，有较多弯道的试题也能顺利地到达彼岸。
关于特征值、特征向量。一是要会求特征值、特征向量，对具体给定的数值矩阵，一般用特征方程 ?OλE-A?O=0及（λE-A）ξ=0即可，抽象的由给定矩阵的特征值求其相关矩阵的特征值（的取值范围），可用定义Aξ=λξ，同时还应注意特征值和特征向量的性质及其应用，二是有关相似矩阵和相似对角化的问题，一般矩阵相似对角化的条件。实对称矩阵的相似对角化及正交变换相似于对角阵，反过来，可由A 的特征值，特征向量来确不定期A的参数或确定A，如果A是实对称阵，利用不同特征值对应的特征向量相互正交，有时还可以由已知λ1的特征向量确定出λ2（λ2≠λ1）对应的特征向量，从而确定出A。三是相似对角化以后的应用，在线性代数中至少可用来计算行列式及An.
将二次型表示成矩阵形式，用矩阵的方法研究二次型的问题主要有两个：一是化二次型为标准形，这主要是正交变换法（这和实对称阵正交相似对角阵是一个问题的两种提法），在没有其他要求的情况下，用配方法得到标准形可能更方便些；二是二次型的正定性问题，对具体的数值二次型，一般可用顺序主子式是否全部大于零来判别，而抽象的由给定矩阵的正定性，证明相关矩阵的正定性时，可利用标准形，规范形，特征值等到证明，这时应熟悉二次型正定有关的充分条件和必要条件。
一、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算。
线性代数的概念很多，重要的有：
代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩(矩阵、向量组、二次型)，等价(矩阵、向量组)，线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。
往年常有考生没有准确把握住概念的内涵，也没有注意相关概念之间的区别与联系，导致做题时出现错误。
例如，矩阵A＝(α1，α2，?，αm)与B＝(β1，β2?，βm)等价，意味着经过初等变换可由A得到B，要做到这一点，关键是看秩r(A)与r(B)是否相等，而向量组α1，α2，?αm与β1，β2，?βm等价，说明这两个向量组可以互相线性表出，因而它们有相同的秩，但是向量组有相同的秩时，并不能保证它们必能互相线性表现，也就得不出向量组等价的信息，因此，由向量组α1，α2，?αm与β1，β2，?βm等价，可知矩阵A＝(α1，α2，?αm)与B＝(β1，β2，?βm)等价，但矩阵A与B等价并不能保证这两个向量组等价。
又如，实对称矩阵A与B合同，即存在可逆矩阵C使CTAC＝B，要实现这一点，关键是二次型xTAx与xTBx的正、负惯性指数是否相同，而A与B相似是指有可逆矩阵P使P-1AP＝B成立，进而知A与B有相同的特征值，如果特征值相同可知正、负惯性指数相同，但正负惯性指数相同时，并不能保证特征值相同，因此，实对称矩阵A～BAB，即相似是合同的充分条件。
线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本方法要过关，重要的有：
行列式(数字型、字母型)的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量(定义法，特征多项式基础解系法)，判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵(亦即用正交变换化二次型为标准形)。
二、注重知识点的衔接与转换，知识要成网，努力提高综合分析能力。
线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，因此解题方法灵活多变，复习时应当常问自己做得对不对？再问做得好不好？只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。
例如：设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，且AB＝0，那么用分块矩阵可知B的列向量都是齐次方程组Ax＝0的解，再根据基础解系的理论以及矩阵的秩与向量组秩的关系，可以有
r(B)≤n-r(A)即r(A)＋r(B)≤n
进而可求矩阵A或B中的一些参数
再如，若A是n阶矩阵可以相似对角化，那么，用分块矩阵处理P-1AP＝∧可知A有n个线性无关的特征向量，P就是由A的线性无关的特征向量所构成，