内容发布更新时间 : 2024/5/26 15:33:51星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

1、一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的求根公式为

2、一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)根的判别式为：??b2?4ac

（1） 当??0时，方程有两个不相等的实数根。 （2） 当??0时，方程有两个相等的实数根。 （3） 当??0时，方程没有实数根。

反之：方程有两个不相等的实数根，则 ；方程有两个相等的实数根，则 ；方程没有实数根，则 。 [韦达定理相关知识]

1若一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)有两个实数根x1和x2，那么

x1?x2? ，x1?x2? 。我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称韦达定理。

2、如果一元二次方程x2?px?q?0的两个根是x1和x2，则x1?x2? ，

x1?x2? 。

3、以x1和x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2?(x1?x2)x?x1?x2?0 4、在一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)中，有一根为0，则c? ；有一根为1，则a?b?c? ；有一根为?1，则a?b?c? ；若两根互为倒数,则c? ；若两根互为相反数，则b? 。 5、二次三项式的因式分解(公式法)

在分解二次三项式ax2?bx?c的因式时，如果可用公式求出方程

ax2?bx?c?0(a?0)的两个根x1和x2，那么ax2?bx?c?a(x?x1)(x?x2)．如果方程ax2?bx?c?0(a?0)无根,则此二次三项式ax2?bx?c不能分解. [基础运用]

例1：已知方程3x2?(k?1)x?2?0的一个根是1，则另一个根是 ，k? 。

变式训练：

1、已知x??1是方程3x2?2x?k?0的一个根，则另一根和k的值分别是多少？

2、方程x2?kx?6?0的两个根都是整数，则k的值是多少？

例2：设x1和x2是方程2x2?4x?3?0，的两个根，利用根与系数关系求下列各式的值：

（1）x1?x2 （2）(x1?1)(x2?1) （3）

变式训练：

1、已知关于x的方程3x2?10x?k?0有实数根，求满足下列条件的k值： （1）有两个实数根。 （2）有两个正实数根。 （3）有一个正数根和一个负数根。 （4）两个根都小于2。

2211? （4）(x1?x2)2 x1x22、已知关于x的方程x2?2ax?a?0。 （1）求证：方程必有两个不相等的实数根。 （2）a取何值时，方程有两个正根。

（3）a取何值时，方程有两异号根，且负根绝对值较大。 （4）a取何值时，方程到少有一根为零？

选用例题：

例3：已知方程ax2?bx?c?0(a?0)的两根之比为1：2，判别式的值为1，则a与b是多少？

例4、已知关于x的方程x2?2(m?2)x?m2?5?0有两个实数根，并且这两个根的平方和比两个根的积大16，求m的值。

例5、若方程x2?4x?m?0与x2?x?2m?0有一个根相同，求m的值。

基础训练：

1．关于x的方程ax2?2x?1?0中，如果a?0，那么根的情况是（ ） （A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根 （C）没有实数根 （D）不能确定

2．设x1,x2是方程2x2?6x?3?0的两根，则x1?x2的值是（ ） （A）15 （B）12 （C）6 （D）3

3．下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ）

（A） 2y2+5=6y（B）x2+5=25 x（C）3 x2－2 x+2=0（D）3x2－26 x+1=0 4．以方程x2＋2x－3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ ） （A） y2+5y－6=0 （B）y2+5y＋6=0 （C）y2－5y＋6=0 （D）y2－5y－6=0 5．如果x1，x2是两个不相等实数，且满足x12－2x1＝1，x22－2x2＝1， 那么x1·x2等于（ ）

（A）2 （B）－2 （C）1 （D）－1

6.关于x的方程ax2－2x＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（ ） （A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根 （C）没有实数根 （D）不能确定

7.设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值是（ ） （A）15 （B）12 （C）6 （D）3

8．如果一元二次方程x2＋4x＋k2＝0有两个相等的实数根，那么k＝ 9．如果关于x的方程2x2－(4k+1)x＋2 k2－1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是

10．已知x1，x2是方程2x2－7x＋4＝0的两根，则x1＋x2＝ ，x1·x2＝ ，（x1－x2）2＝

11．若关于x的方程(m2－2)x2－(m－2)x＋1＝0的两个根互为倒数，则m＝ .

22二、能力训练：

1、不解方程，判别下列方程根的情况：

（1）x2－x=5 (2)9x2－62 +2=0 (3)x2－x+2=0

2、当m= 时，方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根； 当m= 时，方程mx2+4x+1=0有两个不相等的实数根；

3、已知关于x的方程10x2－(m+3)x+m－7=0，若有一个根为0，则m= ， 3

这时方程的另一个根是 ；若两根之和为－ ，则m= ，这时方程的

5两个根为 .

4、已知3－2 是方程x2+mx+7=0的一个根，求另一个根及m的值。

5、求证：方程(m2+1)x2－2mx+(m2+4)=0没有实数根。

6、求作一个一元二次方程使它的两根分别是1－5 和1+5 。