内容发布更新时间 : 2025/1/5 23:12:35星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

高中数学解题思想方法

我们遇到一个新问题时，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。

高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：

① 常用数学方法：配方法、消去法、换元法、待定系数法、数学归纳法、坐标法、参数法等； ② 数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；

③ 数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等； ④ 常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。

一、 配方法

配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，

从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且需要“凑（拆）”而“配”。

Ⅰ、再现性题组：

1. 在正项等比数列{an}中，a1?a5+2a3?a5+a3?a7=25，则 a3＋a5＝_______。 2. 方程x＋y－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。 A. 4

4422114或k>1 C. k∈R D. k＝

14或k＝1

3. 已知sinα＋cosα＝1，则sinα＋cosα的值为______。 A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0 4. 函数y＝log1 (－2x＋5x＋3)的单调递增区间是_____。

22 A. （－∞, 4] B. [

2554,+∞) C. (－2,

154] D. [4,3)

2255. 已知方程x+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x+y=4上，则实数a＝_____。 Ⅱ、示范性题组：

例1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。 A. 23 B. 14 C. 5 D. 6 【分析】 先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z，则??对角线长x2?y2?z2，将其配凑成两已知式的组合形式可得。

【解】x2?y2?z2＝?

例2. 设方程x＋kx＋2=0的两根为p、q，若(【解】 由韦达定理得：p＋q＝－k，pq＝2 , (

pq222(xy?yz?xz)?11?4(x?y?z)?24 ,而欲求

pq)+(

2qp)≤7成立，求k的取值范围。

2)+(

qp)

222224422222(k2?4)2?8≤7，

＝p?q＝(p?q)?2pq＝[(p?q)?2pq]?2pq＝

(pq)2(pq)22(pq)24解得k≤－10或k≥10 。

又 ∵p、q为方程两实根， ∴ Δ＝k－8≥0

∴k的取值范围是：－10≤k≤－22 或者 22≤k≤10

【注】 实系数一元二次方程问题，注意Δ，恰当运用韦达定理；由已知的不等式联想到配方，表示成p＋q与pq的组合式。

22例3. 设非零复数a、b满足a＋ab＋b=0，求(aa?b)

1998＋(

b)1998 。 a?b＝ω （ω为1的立方虚根）；或配方

【分析】 对已知式可以联想：变形为(

2ab)＋(

2ab)＋1＝0，则

ab为(a＋b)＝ab 。则代入所求式即得。

【解】

【注】 配方，简化表达式；巧用1的立方虚根，计算高次幂；活用ω的性质。

【另解】 解出

Ⅲ、巩固性题组：

1. 函数y＝(x－a)＋(x－b) （a、b为常数）的最小值为_____。

A. 8 B.

22ab＝?后，用三角形式完成后面的运算：

(a?b)2 C. a2?b2 D.最小值不存在 22222. α、β是方程x－2ax＋a＋6＝0的两实根，则(α-1) +(β-1)的最小值是_____。

A. －

4942 B. 8 C. 18 D.不存在

?xy3. 已知x、y∈R，且满足x＋3y－1＝0，则函数t＝2＋8有_____。

A.最大值22 B.最大值2 C.最小值22 B.最小值2

224. 椭圆x－2ax＋3y＋a－6＝0的一个焦点在直线x＋y＋4＝0上，则a＝_____。

A. 2 B. －6 C. －2或－6 D. 2或6 5. 化简：21?sin8＋2?2cos8的结果是_____。

A. 2sin4 B. 2sin4－4cos4 C. －2sin4 D. 4cos4－2sin4 6. 设F1和F2为双曲线的面积是_________。

27. 若x>－1，则f(x)＝x＋2x＋1的最小值为___________。

x?13?8. 已知〈β<α〈3π，cos(α-β)＝12，sin(α+β)＝－，求sin2α的值。(92年高考题) 52413222x2－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠FPF＝90°，则△FPF

121249. 设二次函数f(x)＝Ax＋Bx＋C，给定m、n（m

① 解不等式f(x)>0；

② 是否存在一个实数t，使当t∈(m+t,n-t)时，f(x)<0 ？若不存在，说出理由；若存在，指出t的取值范围。

10. 设s>1，t>1，m∈R，x＝logst＋logts，y＝logs42222222t＋logt4s＋m(logs2t＋logt2s),

① 将y表示为x的函数y＝f(x)，并求出f(x)的定义域；

② 若关于x的方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求m的取值范围。