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2013-2014学年第二学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案 Page 1 of 8

北 京 交 通 大 学

2013~2014学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷（A卷）

参 考 答 案

一．（本题满分8分）

某中学学生期末考试中数学不及格的为11%，语文不及格的为7%，两门课程都不及格的为2%．⑴ 已知一学生数学考试不及格，求他语文考试也不及格的概率（4分）；⑵ 已知一学生语文考试不及格，求他数学考试及格的概率（4分）． 解：

设A?“某学生数学考试不及格”，B?“某学生语文考试不及格”． 由题设，P?A??0.11，P?B??0.07，P?AB??0.02． ⑴ 所求概率为P?BA??P?AB?0.022??． P?A?0.1111 ⑵ 所求概率为PAB?二．（本题满分8分）

P?AB?0.07?0.025??PP??ABB???P?B?P??B??．

?0.077 两台车床加工同样的零件，第一台车床加工出现不合格品的概率为0.03，第二台车床加工出现不合格品的概率为0.05；把两台车床加工的零件放在一起，已知第一台车床加工的零件数比第二台车床加工的零件多一倍．现从这两台车床加工的零件中随机地取出一件，发现是不合格品，求这个零件是第二台车床加工的概率． 解：

设A?“任取一个零件是不合格品”，B?“任取一个零件是第一台车床加工的”． 所求概率为P?BA?．由Bayes公式得 P?BA??P?B?P?AB??P?B?P?AB?P?B?P?AB?

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2013-2014学年第二学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案 Page 2 of 8

1?0.0553 ??．

12?0.05??0.031133三．（本题满分8分）

设随机变量X的密度函数为

x??Ccos0?x??f?x??? ． 2?其它?0⑴ 求常数C（3分）；⑵ 现对X独立重复地观察4次，用Y表示观察值大于 解：

???的次数，求E?Y2?（5分）． 3 ⑴ 由密度函数的性质，

?????f?x?dx?1，得

?xx?2C， 1??f?x?dx??Ccosdx?2Csin220??0?因此，C?1． 2????? ⑵ 由于P?X???3????31xx11f?x?dx??cosdx?sin?1??．

22?22?233??所以，随机变量Y的分布列为

?1?P?Y?k??C???， ?k?0,1,2,3,4?．

?2?k4k所以 EY??k2?P?Y?k?

2k?0??4 ?02?14641?12??22??32??42??5． 1616161616四．（本题满分8分） 在正方形D??p,实根的概率． 解：

?q?：p?1,q?1?中任取一点?p,q?，求使得方程x2?px?q?0有两个

设A?“方程x2?px?q?0有两个实根”，所求概率为P?A?．

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设所取的两个数分别为p与q，则有?1?p?1，?1?q?1． 因此该试验的样本空间与二维平面点集

D???p,q?：?1?p?1,?1?q?1?

中的点一一对应．

随机事件A与二维平面点集DA??p,q?：p2?4q?0，即与点集

????p2DA???p,q?：?q?

4??中的点一一对应．

?p2????1dp???DA的面积?1?41?p3????? 所以， P?A??D的面积2?24?12?五．（本题满分8分）

一个工厂生产某种产品的寿命X（单位：年）的密度函数为

x?1?4?f?x???4e??01?13p??． ?24??11x?0 ． x?0该工厂规定：该产品在售出的一年内可予以调换．若工厂售出一个该产品，赢利100元，而调换一个该产品，需花费300元．试求工厂售出一个该产品净赢利的数学期望． 解：

设Y为工厂售出一个产品的净赢利，则

?100X?1 Y????300X?1所以，EY?100?P?Y?100??300?P?Y??300?

0P?X?1??30?0P?X?1? ?10?1?1? ?100??e4dx?300??e4dx

4140 ?100?e?141???4??300??1?e???11.5203 ????x1x六．（本题满分9分）

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