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2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷（1）
文科数学
本试题卷共6页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知集合M???x,y?x?y?2?，N???x,y?x?y?2?，则集合MIN?（ ）
A．?0,2? B．?2,0? C．
??0,2??
D．
??2,0??
【答案】D 【解析】解方程组??x?y?2x?y?2，得?x?2??．故?y?0MIN???2,0??．选D．
2．设复数z?1?2i（i是虚数单位），则在复平面内，复数z2对应的点的坐标为（ ） A．??3,4? B．?5,4? C．??3,2? D．?3,4?
【答案】A
【解析】z?1?2i?z2??1?2i?2?1?4?4i??3?4i，所以复数z2对应的点为??3,4?，
故选A．
3．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的x?0，则一开始输入的x的值为（ ）
A．
374 B．
8 C．
1516 D．
3132 【答案】C
【解析】i?1， （1）x?2x?1,i?2， （2）x?2?2x?1??1?4x?3,i?3， （3）x?2?4x?3??1?8x?7,i?4， （4）x?2?8x?7??1?16x?15,i?5，
;.'
;.
所以输出16x?15?0，得x?1516，故选C． 4．已知cos????2??????2cos?????，则tan????4??????（ ） A．?4 B．4
C．?13
D．13
【答案】C
【解析】因为cos????2??????2cos?????，所以?sin???2cos??tan??2， 所以tan????1?tan1?4??????1?tan???3，故选C．
5．已知双曲线x2y2a2?b2?1?a?0,b?0?的一个焦点为F??2,0?，一条渐近线的斜率为3，则该双曲线的方程为（ ）
x22A．?y?1 B．x2?y2?1 C．y22?x2?1 D．y2?x3333?1 【答案】B
x2a?y2【解析】令bb2b2?0，解得y??ax，故双曲线的渐近线方程为y??ax．
??ba?3由题意得??c?2 ，解得???a2?1 ，∴该双曲线的方程为x?y22?1．选B． c2?a2?b2?b2?33??6．某家具厂的原材料费支出x与销售量y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供
的全部数据，用最小二乘法得出
y与x的线性回归方程为y??8x?b?，则b?为（ ） x 2 4 5 6 8 y 25 35 60 55 75 A．5 B．15
C．12
D．20
【答案】C
【解析】由题意可得：x?2?4?5?6?825?35?60?555?5，y??755?52，
回归方程过样本中心点，则：52?8?5?b?，?b??12．本题选择C选项． 7．已知f?x??2018x2017?2017x2016?L?2x?1，下列程序框图设计的是求f?x0?的值，
在“?”中应填的执行语句是（ ）
开始输入x0i=1,n=2018S=2018i=i+1i≤2017？否S=S+n是输出SS=Sx0结束
A．n?2018?i B．n?2017?i C．n?2018?i D．n?2017?i
【答案】A
【解析】不妨设x0?1，要计算f?1??2018?2017?2016?L?2?1，
首先S?2018?1?2018，下一个应该加2017，再接着是加2016，故应填n?2018?i．
8．设0?x?π2，则“cosx?x2”是“cosx＜x”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】作图y?cos x，y?x2，y?x，x???0,???2??，可得cosx?x2解集为??m??2??，cosx?x解集为??,??n,??2??，因为???m,??2??????n,??2??，因此选A． 9．如图为正方体ABCD?A1B1C1D1，动点M从B1点出发，在正方体表面上沿逆时针方向运动一周后，再回到B1的运动过程中，点M与平面A1DC1的距离保持不变，运动的路程x与
l?MA1?MC1?MD之间满足函数关系l?f?x?，则此函数图象大致是（ ）
;.'
;.
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】取线段B1A中点为N，计算得：
lN?NA1?NC1?ND?6?22?2?3?lB1?lA．同理，当N为线段AC或CB1的中点时，计算得
lN?NA1?NC1?ND?6?22?2?3?lB1，符合C项的图象特征．故选C． ．已知双曲线E：x2y210a2?b2?1(a?0,b?0)的右顶点为A，右焦点为F，B为双曲线在
第二象限上的一点，B关于坐标原点O的对称点为C，直线CA与直线BF的交点M恰好为线段
BF的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A．
12 B．15
C．2 D．3
【答案】D
????c,b2a?，由此可得A??a,0?，C??b2【解析】不妨设B???b2??c,?a?，F?c,0?，M??0,2a?，由
??b2b2于A，C，M三点共线，故2a?a?aa?c，化简得c?3a，故离心率e?3．
11．已知点A?4,3?和点B?1,2?，点O为坐标原点，则uOAuur?tOBuuur?t?R?的最小值为（ ）
A．52 B．5
C．3
D．5
【答案】D
【解析】由题意可得：uOAuur??4,3?，uOBuur??1,2?，则： uOAuur?tOBuuur??4,3??t?1,2???4?t,3?2t???4?t?2??3?2t?2?5t2?20t?25，
结合二次函数的性质可得，当t??2时，uOAuur?tOBuuurmin?5?4?20?2?25?5．
本题选择D选项．
x2a?y2:x2y212．已知椭圆C1:22?1?a1＞b1＞0?与双曲线C22?2?1?a2＞0,b2＞0?有相同的1b1a2b2焦点F1,F2，若点P是C1与C2在第一象限内的交点，且F1F2?2PF2，设C1与C2的离心率分别
为e1，e2，则e2?e1的取值范围是（ ）
A．??1??1??3,???? B．??3,???? C．??1,???D．??1??2??
?2,????
【答案】D 【解析】设
F1F2?2c，令PF1?t，由题意可得：t?c?2a2，t?c?2a1，
据此可得：a11?a2?c，则：e?1?1，e1?e2， 1e2e2?12则：ee212?e1?e2?e?e2?1，由e2?1可得：0?2?1e2?1?e?1， ?1?22?e??12?e22结合二次函数的性质可得：??1??e??1e??0,1?，
2?2则：e2?e1?12，即e?1?2?e1的取值范围是??2,????．本题选择D选项．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．已知平面向量a与b的夹角为?3，且b?1，a?2b?23，则a?__________．
【答案】2
【解析】Qa?2b?23，?a?2b2?12，即a2?4a?b?4b2?12，
?a2?4a?1?cos60??4?12?12，化简得：a2?2a?8?0，?a?2．
14．如果P1，P2，…，P10是抛物线C：y2?4x上的点，
它们的横坐标依次为x1，x2，…，x10，
是抛物线C的焦点，若x1?x2?L?x10?10，则PF1?P2F?L?P10F?_________．
;.'
;.
【答案】20
【解析】由抛物线方程y2?4x，可得p?2．
则PF1?P2F?L?P10F?x1?p2?xp2?L?xp2?10?2?10?5p?20， 故答案为：20．
?x?y?2≥015．若x，y满足约束条件??x?y?4≤0 ，则y的取值范围为??y≥2x?1__________． 【答案】??2
??3
,2??
【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示）．
yx?1表示可行域内的点M?x,y?与点P??1,0?连线的斜率． 由??x?y?4?0，解得??y?2?x?2?y?2 ，故得B?2,2?；
由??x?y?2?0，解得?x?0?y?2??y?2 ，故得A?0,2?．
因此可得kPA?2，kPB?23， 结合图形可得yx?1的取值范围为??2?3,2???．答案：??2?3,2???
． 16．在三棱椎P?ABC中，底面ABC是等边三角形，侧面PAB是直角三角形，且
PA?PB?2，PA?AC，则该三棱椎外接球的表面积为________．
【答案】12π
【解析】由于PA?PB，CA?CB，PA?AC，则PB?CB，因此取PC中点O，则有
OP?OC?OA?OB，即O为三棱锥P?ABC外接球球心，又由PA?PB?2，得
AC?AB?22，所以PC?22??22?2?23，所以S?4???3?2?12?．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．已知数列?an?满足Sn?2an?n?n?N*?． （1）证明：?an?1?是等比数列； （2）求a1?a3?a5?...?a2n?1?n?N*?．