内容发布更新时间 : 2024/12/27 20:56:07星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第二节 平行线分线段成比例定理

课堂导学

三点剖析

一、平行线分线段成比例定理及推论

【例1】如图1-2-2,已知DE∥BC,EF∥AB,则下列比例式错误的是( )

图1-2-2

A.

ADAECEEADEADEFCF= B.= C.= D.= ABACCFFBBCBDABCBADAEDEAD=,=. ABACBCABCEAEEFCF=,=. CFFBABCB解析：∵DE∥BC, ∴

∴选项C是错误的,A是正确的. 又∵EF∥AE,∴

∴选项B、D是正确的. 答案:C

二、巧妙借助辅助线――平行线解决比例问题 ? 【例2】如图1-2-4,已知△ABC中,D为AC上一点,E为CB延长线上一点,EB=AD,ED交AB于F.

图1-2-4

求证:EF?BC=AC?FD. 证明：过D作DG∥AB交CE于G,则∵EB=AD,∴EFEBACAD?=,.

FDBGBCBGEFAC=, FDBC即EF?BC=AC?FD. 温馨提示

由等积式转化为比例式是一种基本方法,作平行线找中间比是本章解决问题的主要思想方法.

三、探索线段的关系

【例3】如图1-2-6,梯形ABCD中,点E、F分别在AB、CD上,EF∥AD,AD、BC之间的关系,并证明.

AEm=.试探究EF、EBn

图1-2-6

思路分析：首先从特例出发,如果

AEEB=12,取EB中点G,过G作GH∥BC,如图1-2-7.

图1-2-7

则有H为FC的中点,

EF为梯形AGHD的中位线, GH为梯形EBCF的中位线.∴EF=12(AD+GH),GH=12(EF+BC). 消去GH得3EF=BC+2AD.

同理,如果

AEEB=23,得5EF=2BC+3AD. 解:如果AEEB?mn,可以猜想(m+n)EF=mBC+nAD. 下面给出证明:

连结BD,交EF于G.

∵EG∥AD,∴EGAD?BEAB?nm?n.∴EG=nm?n

AD. 又∵AD∥EF∥BC,∴DFAEFC?EB?mn. ∵GF∥BC,∴GFDFmBC?DC?m?n.∴GF=mm?nBC. ∴EF=GF+EG=mnm?nBC+m?nAD. ∴(m+n)EF=mBC+nAD. 各个击破 类题演练1 如图1-2-3,已知l1∥l2∥l3,AM=3,BM=5,CM=4.5,EF=16.

图1-2-3

求DM、EK、FK的长. 解析：∵l1∥l2∥l3,

2

AMCM?. BMDMCM?BM4.5?5?∴DM==7.5.

AM3CMEK?又, CDEFCM?EF4.5?16?∴EK==6.

CD4.5?7.5∴

∴FK=16-6=10.

类题演练2

如图1-2-5,在△ABC中,AB＞AC,D在AB上,E在AC上且AD=AE,直线DE和BC的延长线交于点P.

求证:BP∶CP=BD∶CE.

图1-2-5

证明:过C作CF∥AB,交DP于F,则BP∶CP=BD∶CF, ∠EFC=∠ADE. ∵AD=AE,

∴∠ADE=∠AED. ∴∠AED=∠CFE. ∵∠AED=∠CEF, ∴∠CEF=∠CFE. ∴CE=CF.

∴BP∶CP=BD∶CE. 类题演练3

如图1-2-8,在△ABC中,DE∥BC,BE、CD交于O.AO交DE于F,AO的延长线交BC于G. 求证:(1)

BGDF?;(2)DF=FE. GCFE

图1-2-8

证明:(1)∵DE∥BC,

DFAFFE??. BGAGGCBGDF?∴. GCFE∴

(2)∵DE∥BC, ∴

DFAD=, BGAB3