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湖北汽车工业学院

概率论与数理统计考试试卷

（2015~2016~1） 课程编号 150040 考核形式 闭卷考试 使用班级 2014级普教本科 考试时间 2015.12.26 一、（本题满分24，每小题4分）单项选择题（请把所选答案填在答题卡指定位置上）： 【C】1．已知A与B相互独立，且P(A)?0，P(B)?0．则下列命题不正确的是 (A)P(A|B)?P(A)． (B)P(B|A)?P(B)． (C)P(A)?1?P(B)． (D)P(AB)?P(A)P(B)． 【B】2．已知随机变量X的分布律为 X ?2 0 2 P 0.4 0.3 0.3 则E(5X?3)等于 (A) 8． (B) 2． (C)?5． (D)?1． 【A】3．设随机变量X与Y均服从正态分布X~N(?,42)，Y~N(?,52)，p1?P{X???4},p2?P{Y???5}，则 (A)对任何实数?，都有p1?p2． (B)对任何实数?，都有p1?p2． (C)只对?的个别值，才有p1?p2． (D)对任何实数?，都有p1?p2． 【C】4．在总体X中抽取样本X1,X2,X3,则下列统计量为总体均值?的无偏估计量的是

(A) ?XXXXXX1?11?22?33． (B) ?12?2?22?32． (C) ?XXXXXX3?13?23?33． (D) ?4?14?24?34． 【D】5. 设X~t(n)，则X2~ (A)?2(n)． (B)?2(1)． (C)F(n,1)． (D)F(1,n)． 【B】6．随机变量X~N(0,1)，对于给定的??0???1?，数u?满足P(u?u?)??， 若P(X?c)??，则c等于

(A) u?2． (B) u(1??)2． (C) u1??． (D) u1??2．

二、（本题满分24，每小题4分）填空题（请把你认为正确的答案填在答题卡指定位置上）：1. 设样本空间???1,2,3,4,5,6?，A??1,2?,B??2,3?,C??4,5?,则A(B?C)??1,3,4,5,6?. 2. 某班级学生的考试成绩数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，这两门都不及格的占 3%。已知一学生数学不及格，那么他语文也不及格的概率是15.

k3. 设离散型随机变量X的分布列为P?X?k??a??1??3??，k?1,2,3,?，则a?2.

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4. 已知E(X)??2，E(X2)?5，那么D(2015?3X)?9.

5. 设随机变量X与Y独立且都服从?0,3?上的均匀分布，则P?min?X,Y??2??1. 96. 设某种电子管的使用寿命服从正态分布N(?,3002)，?未知，从中随机抽取16个进行检验，测得平均使用寿命为1950小时，则未知参数?的置信水平为0.95的置信区间为?1803,2097?.

【特别提醒】（1）以下各题的求解过程必须按题号写在答题卡上指定的方框内，题号对应错误以及超出方框部分的解答均无效.（2）答题卡上的任何位置不得用胶带粘贴，不得用涂改液涂改，否则将不被阅卷系统识别.

三、（本题满分10分）一个工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种螺钉，每个车间的产量分别占

总产量的25%、35%、40%，如果每个车间成品中的次品率分别为5%、4%、2%，从全厂产品中任意抽出一个螺钉，试问它是次品的概率是多少？ 解：设事件A1,A2,A3分别表示抽出的螺钉来自甲、乙、丙三个车间，D表示抽出的螺钉为次品， P(A1)?0.25， P?A2??0.35， P(A3)?0.4； P(D|A1)?0.05 P(D|A2)?0.04 P(D|A3)?0.02 由全概率公式，得 P(D)??P(Ai)P(D|Ai) i?13 ?0.25?0.05?0.35?0.04?0.4?0.02?0.0345 故从全厂产品中任意抽出一个螺钉，它是次品的概率是0.0345.

四、（本题满分10分）设连续型随机变量X的概率密度为： ?kex,x?0,??1 f(x)??,0?x?3, 6?x?3.??0,求(1)常数k的值；(2) P??0.5?X?2?.

?0311x解：（1）?f(x)dx??kedx??dx?k??1 ????0621 解得k? 2

2012151exdx??dx??e?0.5 (2) P??0.5?X?2???f(x)dx???0.5?0.520662 五、（本题满分12分）设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为

?24(1?x)yf(xy)???00?x?1,0?y?x其它

(1) 求随机变量X与Y的边缘概率密度；

(2) 若X,Y分别为一矩形木板的长与宽,求木板面积的数学期望. 解：（1）当x?0或x?1时，fX(x)?0；

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???x(x))?当0?x?1时，fp(x??XXp(x,y)dy??24(1?x)ydy?12(1?x)x2；

0?12(1?x)x20?x?1 故fX(x)??

其它?0当y?0或y?1时，fY(y)?0；

((yy))??当0?y?1时，fpYY???p(x,y)dx??24(1?x)ydx?12y2(y?2) ；

y0?12y2(y?2) 故fY(y)???0D100?y?1其它

（2） E(XY)???xyp(x,y)dxdy D?{(x,y)|0?x?1,0?y?x} ??dx?24xy(1?x)ydy 0x4 15六、（本题满分10分）设总体X的概率密度为 ??1?x?,x?0?2xef(x;?)??? ?x?0?0,其中参数?(??0)未知，如果取得样本观测值x1,x2,?,xn, 求?的最大似然估计值． 解：似然函数为 L(?)??f（xi,?)??i?1nn12i?1?xien?xi??1?1?2ne??xii?1n?xi?1ni 取对数，得lnL(?)??2nln??1?i?1?xi??lnxi i?1ndlnL(?)2n1n令???2?xi?0， ??i?1d???得参数?的最大似然估计值为： ??xi?1ni2n?x 2七、（本题满分10分）设某厂生产的灯泡寿命(单位：h)X服从正态分布N(1000,?2)，现随机抽取其中16只，测得样本均值x=946，样本标准差s=120，则在显著性水平α?0.05下可否认为这批灯泡的平均寿命为1000小时？ 解：待验假设H0：? =1000，H1：? ≠1000 X??0由于题设方差?2未知，故检验用统计量为t?~t(n?1)

Sn由? =0.05?t?/2?t0.025(15)?2.13

又由x?946、s=120，可算得统计量观测值t为 x??0946?1000???1.8 t?s/n120/16因|t|?1.8?t0.025(15)?2.13，故考虑接受H0，从而认为这批灯泡的平均寿命为1000小时.