内容发布更新时间 : 2024/5/18 7:08:39星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

（1）依次取xi?(0,0,?,0,1,0,?,0)T,i?1,2,?,n，则因为A是对称正定矩阵，i所以有aii?xTAx?0。 (2)（2）A2中的元素满足aij?aij?ai1a1ja11,(i,j?2,3,?,n)，又因为A是对称正定ai1a1ja11a1iaj1a11(2)矩阵，满足aij?aji,i,j?1,2,?,n，所以aij?aij??aji??a(ji2)，即A2是对称矩阵。 3、设Lk为指标为k的初等下三角矩阵（除第k列对角元以下元素外，Lk和单位阵I 相同），即 ?1?...??1Lk??mk?1,k??...?mn,k??????? 1?...??1??±?ILI 也是一个指标为k的初等下三角矩阵，其中I为初等置换求证当i,j?k时，Lijkijkij矩阵。 4、试推导矩阵A 的Crout分解A=LU的计算公式，其中L为下三角矩阵，U为单位上三角矩阵。 本题不推导。参见书上例题。P147页。 5、设Ux?d ，其中U为三角矩阵。 （1）就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，并写出算法 （2）计算解三角方程组Ux?d的乘除法次数 （3）设U为非奇异矩阵，试推导求U?1的计算公式 本题考查求解公式的一般方法，可从第n个元素开始，逐步计算n-1,…1时对应的求解公式。 解法，略。 6、证明： （1）如果A是对称正定矩阵，则A?1也是对称正定矩阵 （2）如果A是对称正定矩阵，则A可以唯一地写成A?LTL，其中L是具有正对角元的下三角矩阵 均是对称正定矩阵的性质。应予以记住。 7、用列主元消去法解线性方程组 ?12x1?3x2?3x3?15???18x1?3x2?x3??15 ?x?x?x?6?123并求出系数矩阵A的行列式的值 ?12?33?? A???183?1???11??1??12?3315?? A|b???183?1?15???116??1?使用列主元消去法，有 ?12?3315?? A|b???183?1?15???116??1???183?1?15?? ??12?3315???116??1?????183?1?15???7??0?15? ??3?71731??0?6186??????183?1?15???71731? ??0?6186???7?0?15?3?????183?7??0?6??00???1?15??1731? ?1866666??217?A的行列式为-66 方程组的解为 X1=1,x2=2,x3=3 8、用直接三角分解（Doolittle分解）求线性方程组的解 11?1x?x?x3?912?456?11?1?x1?x2?x3?8 45?3?1?2x1?x2?2x3?8?本题考查LU分解。 解： ?1?4?1A???3??1?2?151411?6??1?5?? 2??????100???1L??10??3??1? ?11??2??1?4?U??0???0??15116001?6??13? ?90?957?540??9、用追赶法解三对角方程组Ax?b，其中 ?2?1000??12?100?A??0?12?10??00?12?1??000?12??1???0?????，b??0?。 ?????0?????0??解：追赶法实际为LU分解的特殊形式。设U为、单位上三角矩阵。有 （1）计算?i的递推公式 ?1?c1/b1??1/2??0.5?2?c2/(b2?a2??1)??1/(2?(?1)?(?0.5))??2/3 ?3?c3/(b3?a3??2)??1/(2?(?1)?(?2/3))??3/4 ?4?c4/(b4?a4??3)??1/(2?(?1)?(?3/4))??4/5（2）解Ly=f y1?f1/b1?1/2y2?(f2?a2y1)/(b2?a2?1)?(0?(?1)?(1/2))/(2?(?1)?(?0.5))?1/3 y3?(f3?a3y2)/(b3?a3?2)?(0?(?1)?(1/3))/(2?(?1)?(?2/3))?1/4 y4?(f4?a4y3)/(b4?a4?3)?(0?(?1)?(1/4))/(2?(?1)?(?3/4))?1/5 y5?(f5?a5y4)/(b5?a5?4)?(0?(?1)?(1/5))/(2?(?1)?(?4/5))?1/6 （3）解UX=y x5?y5?1/6 x4?y4??4x5?1/5?(?4/5)?1/6?1/3 x3?y3??3x4?1/4?(?3/4)?1/3?1/2 x2?y2??2x3?1/3?(?2/3)?1/2?2/3 x1?y1??1x2?2?(?1/2)?2/3?5/6 10、用改进的平方根法解方程组 ?11??x1??4??2??1?23??x???5?。 ???2????31??1???6???x3???本题明确要求使用平方根法进行求解。实际考查的LDU分解。见P157 x1?10723。 ,x2?,x3?99911、下列矩阵能否分解为LU（其中L为单位下三角阵，U为上三角阵）？若能分解，那么分解是否唯一。 6??123??111??12?，B??221?，C??2515?。 A??241??????????467???331???61546??LU分解存在的条件 一个可逆矩阵可以进行LU分解当且仅当它的所有子式都非零。如果要求其中的L矩阵（或U矩阵）为单位三角矩阵，那么分解是唯一的。同理可知，矩阵的LDU可分解条件也相同，并且总是唯一的。 即使矩阵不可逆，LU仍然可能存在。实际上，如果一个秩为k的矩阵的前k个顺序主子式不为零，那么它就可以进行LU分解，但反之则不然。 解： 因为A的一、二、三阶顺序主子式分别为1，0，-10，所以A不能直接分解为三