内容发布更新时间 : 2024/5/8 7:53:02星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

角阵的乘积，但换行后可以。 因为B的一、二、三阶顺序主子式分别为1，0，0，所以B不能分解为三角阵的乘积。 因为C的一、二、三阶顺序主子式分别为1，5，1，所以C能够分解为三角阵的乘积，并且分解是唯一的。 12、设 ?0.60.5?， A????0.10.3?计算A的行范数，列范数，2-范数及F-范数。 本题考查的是矩阵范数的定义及求法 行范数+= 列范数+= 2-范数的计算需要用到特征值，特征值的计算可以使用幂法进行计算，也可以直接求。 ATA的最大特征值为 所以2-范数为 F-范数 13、求证： （a）x??x1?nx?； AF（b）1n?A2?AF。 根据定义求证。 x??maxxi?x1??xi?nmaxxi?nx?。 1?i?ni?11?i?nn1An22F1n2??aijni,j?1 A2??max(ATA) 14、设P?Rn?n且非奇异，又设x为Rn上一向量范数，定义xp?Px。试证明xp是Rn上向量的一种范数。 根据向量范数的定义来证明： 要求就有正定性，齐次性，三角不等式等性质。 显然xx1?x2p?Px?0，cxp?Pcx?cPx?cxp、 pp?P(x1?x2)?Px1?Px2?Px1?Px2?x1?x2n，从而是Rxpp上向量的一种范数。 15、设A?Rn?n为对称正定，定义 xA?(Ax,x)， A12试证明x是R上向量的一种范数。 n根据向量范数的定义来证明： 要求就有正定性，齐次性，三角不等式等性质。 显然xT?(Ax,x)?xAx?0A12， 12cxA?(Acx,cx)?c(xAx)?c(Ax,x)?cx12A122TA x1?x2?(A(x1?x2),(x1?x2))?(x1?x2)TA(x1?x2)A?x1TAx1?x2TAx2?x1?x21A?1A16、设A为非奇异矩阵，求证?miny?0?Ayy??。 因为A?1?maxx?0A?1xx?maxx?0A?1xAAx?1?max?1yAyy?Ax?0?y?01minAyy， 所以得证 1A?1??miny?0Ayy?? ?2???217、矩阵第一行乘以一数，成为A??，证明当时，cond(A)?有最小值。 ????311??本题考查条件数的计算 cond(A)??A?1?A? 首先计算A的逆阵 ?1??1????1A???1?2? ???????2|3?|?22???A???3，取得最小值为2 ?|3?||3?|?2，当A?1?1|?|?2，当?|?|取值越大，则最小值为2 从而cond(A)??A?1又当??2时， 3?A??(1??2)?max?3?,2?， cond(A)??(3?2)?max?3?,2??(?2)?2?7。 ?21当??2时， 31cond(A)??(??2)?max?3?,2??(1??2)?3??3?6??7。 综上所述，cond(A)??7时最小，这时??18、设A??22，即???。 33(v?2,?) ?10099??，计算A的条件数cond(A)v9998???10099???9899??1由A???可知，A??99?100?，从而 9998??????9899???9899??19405?19602?， (A?1)T(A?1)?????????99?100??99?100???1960219801???1940519602由?I?(A)(A)???2?39206??1?0， 19602??19801?1T?1?10099??10099??1980119602?， ATA?????????9998??9998??1960219405???19801?19602由?I?AA???2?39206??1?0， ?19602??19405T可得A2?A?12?19603?384277608，从而 cond(A)2?A?1A?1?2A2?19603?384277608?39206。 ??199，A??199，从而cond(A)??A?1A??199?199?39601。 19、证明：如果A是正交矩阵，则cond(A)2?1 若A是正交阵，则A?1?AT，从而ATA?I，(A?1)TA?1?AA?1?I，故A2?A?12?1，cond(A)2?A?1n?n2A2?1。 20、设A,B?R，且?为Rn?n上矩阵的算子范数，证明： cond(AB)?cond(A)cond(B) cond(AB)?(AB)?1AB?B?1A?1AB?B?1A?1AB?(A?1A)(B?1 B)?cond(A)cond(B)21、设Ax?b，其中A为非奇异矩阵，证明： （1）AA为对称正定矩阵； T2（2）cond(AA)?(cond(A)2) Tx(ATA)x?(Ax)TAx?b2?0，所以ATA为对称正定矩阵。 ?max(ATA)(cond(A)2)??min(AAT) 2TTT为对称正定矩阵，所以AA?AA AA由于cond(ATA)2?ATA2(ATA)?12?max((ATA)T(ATA))??min((ATA)(ATA)T)?max((AAT)T(ATA))??min((AAT)(ATA)T)?max(ATAATA)则??min(AATAAT)?max(ATA)2??min(AAT)2?max(ATA)??min(AAT)?(cond(A)2)2