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生活的色彩就是学习
（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量、复数
5.3 平面向量的数量积教师用书
1．向量的夹角
→→
已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]． 2．平面向量的数量积
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，定义 记作a·b |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影， 投影 |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 几何 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 意义
3.平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则 (1)e·a＝a·e＝|a|cos θ. (2)a⊥b?a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|或|a|＝a·a. 2
a·b(4)cos θ＝.
|a||b|
(5)|a·b|≤|a||b|.
4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b＝b·a；
K12的学习需要努力专业专心坚持
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(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到 (1)若a＝(x，y)，则|a|＝x＋y或|a|＝x＋y.
→
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离AB＝|AB|＝2
2
2
22x2－x12＋y2－y12. (3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
a·bx1x2＋y1y2
(4)若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则cos θ＝＝2. 222
|a||b|x1＋y1 x2＋y2
【知识拓展】
1．两个向量a，b的夹角为锐角?a·b>0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角?a·b<0且a，b不共线． 2．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a－b. (2)(a＋b)＝a＋2a·b＋b. (3)(a－b)＝a－2a·b＋b. 【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( √ )
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( √ ) (3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.( × ) (4)(a·b)c＝a(b·c)．( × )
π
(5)两个向量的夹角的范围是[0，]．( × )
2
2
2
2
2
2
22
2
1．(教材改编)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k等于( ) A．－12 C．－6 答案 D
解析 ∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)， K12的学习需要努力专业专心坚持
B．6 D．12
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由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0， ∴10＋2－k＝0，解得k＝12.
2．(2016·临安质检)已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，则|b|等于( ) A.6 B.5 C.3 D.2 答案 C
解析 由题意可得a·b＝|b|cos 30°＝由此求得|b|＝3，故选C.
→→→→→
3．(2016·温州调研)若平面四边形ABCD满足AB＋CD＝0，(AB－AD)·AC＝0，则该四边形一定是( ) A．直角梯形 C．菱形 答案 C
→→
解析 由AB＋CD＝0得平面四边形ABCD是平行四边形， →→→→→
由(AB－AD)·AC＝0得DB·AC＝0， 故平行四边形的对角线垂直， 所以该四边形一定是菱形，故选C.
4．(2016·北京)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，1)，则a与b夹角的大小为________． 答案
π 6
B．矩形 D．正方形
3222
|b|,4a－4a·b＋b＝1，即4－23|b|＋b＝1，2
解析 设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝2
|a||b|1＋3
， 2
π
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝. 6
a·b1×3＋1×33
2
·1＋
2
3
＝2
23
＝4
题型一 平面向量数量积的运算
例1 (1)(2016·天津)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中
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