内容发布更新时间 : 2024/11/5 21:43:04星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

下面说明其它自然数n都要染红色。

（1）当n为大于等于10的偶数时，

n=2k=4+2（k-2）。

由于n≥10，所以k≥5，k-2≥3，2（k-2）与4均为合数，且不相等。也就是说，大于等于10的偶数均能表示为两个不同的合数之和，应染红色。（1）当n为大于等于13的奇数时，

n=2k+1=9+2（k-4）。

由于n≥13，所以k≥6，k-4≥2，2（k-4）与9均为合数，且不相等。也就是说，大于等于13的奇数均能表示为两个不同的合数之和，应染红色。

综上所述，除了1，2，3，4，5，6，7，8，9，11这10个数染黄色外，其余自然数均染红色，第k个染为红色的数是第（k+10）个自然数（k≥2）。

所以第2000个染为红色的数是2000+10=2010。

下面看一类有规律的最优化问题。

例7 把12分拆成两个自然数的和，再求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应该如何分拆？

分析与解：把12分拆成两个自然数的和，当不考虑加数的顺序时，有

1+11，2+10，3+9，4+8，5+7，6+6

六种方法。它们的乘积分别是

1×11=11，2×10=20，3×9=27，

4×8=32，5×7=35，6×6=36。

显然，把12分拆成6+6时，有最大的积6×6=36。

例8 把11分拆成两个自然数的和，再求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应该如何分拆？

分析与解：把11分拆成两个自然数的和，当不考虑加数的顺序时，有1+10，2+9，3+8，4+7，5+6五种方法。它们的乘积分别是

1×10=10，2×9=18，3×8=24，

4×7=28，5×6=30。

显然，把11分拆成5+6时，有最大的积5×6=30。

说明：由上面的两个例子可以看出，在自然数n的所有二项分拆中，当n是偶数2m时，以分成m+m时乘积最大；当n是奇数2m+1时，以分成m+（m+1）时乘积最大。换句话说，把自然数S（S＞1）分拆为两个自然数m与n的和，使其积mn最大的条件是：m=n，或m=n+1。

例9 试把1999分拆为8个自然数的和，使其乘积最大。

分析：反复使用上述结论，可知要使分拆成的8个自然数的乘积最大，必须使这8个数中的任意两数相等或差数为1。

解：因为1999=8×249+7，由上述分析，拆法应是1个249，7个250，其乘积249×2507为最大。

说明：一般地，把自然数S=pq+r（0≤r＜p，p与q是自然数）分拆

为p个自然数的和，使其乘积M为最大，则M为qp-r×（q+1）r。

例10 把14分拆成若干个自然数的和，再求出这些数的积，要使得到的积最大，应该把14如何分拆？这个最大的乘积是多少？

分析与解：我们先考虑分成哪些数时乘积才能尽可能地大。

首先，分成的数中不能有1，这是显然的。

其次，分成的数中不能有大于4的数，否则可以将这个数再分拆成2与另外一个数的和，这两个数的乘积一定比原数大，例如7就比它分拆成的2和5的乘积小。

再次，因为4=2×2，故我们可以只考虑将数分拆成2和3。

注意到2+2+2=6，2×2×2=8；3+3=6，3×3=9，因此分成的数中若有三个2，则不如换成两个3，换句话说，分成的数中至多只能有两个2，其余都是3。

根据上面的讨论，我们应该把14分拆成四个3与一个2之和，即14=3+3+3+3+2，这五数的积有最大值

3×3×3×3×2=162。

说明：这类问题最早出现于1976年第18届国际数学奥林匹克试卷中。该试卷第4题是：

若干个正整数的和为1976，求这些正整数的积的最大值。

答案是2×3658。

这是由美国提供的一个题目，时隔两年，它又出现在美国大学生数学竞赛中。1979年美国第40届普特南数学竞赛A-1题是：

求出正整数n及a1，a2，…，an的值，使a1+a2+…+an=1979且乘积最大。

答案是n=660。

1992年武汉市小学数学竞赛第一题的第6题是：

将1992表示成若干个自然数的和，如果要使这些数的乘积最大，这些自然数是____。

答案：这些数应是664个3。

上述三题的逻辑结构并不随和的数据而改变，所以分别冠以当年的年份1976，1979和1992，这种改换数据的方法是数学竞赛命题中最简单的方法，多用于不同地区不同级别不同年份的竞赛中，所改换的数据一般都是出于对竞赛年份的考虑。将上述三题的结论推广为一般情形便是：

把自然数S（S＞1）分拆为若干个自然数的和：

S=a1+a2+…+an，

则当a1，a2，…，an中至多有两个2，其余都是3时，其连乘积m=a1a2…an有最大值。

例11 把1993分拆成若干个互不相等的自然数的和，且使这些自然数的乘积最大，该乘积是多少？

解：由于把1993分拆成若干个互不相等的自然数的和的分法只有有限种，因而一定存在一种分法，使得这些自然数的乘积最大。

若1作因数，则显然乘积不会最大。把1993分拆成若干个互不相等的自然数的和，因数个数越多，乘积越大。为了使因数个数尽可能地多，我们把1993分成2+3…+n直到和大于等于1993。

若和比1993大1，则因数个数至少减少1个，为了使乘积最大，应去掉最小的2，并将最后一个数（最大）加上1。

若和比1993大k（k≠1），则去掉等于k的那个数，便可使乘积最大。

所以n=63。因为2015-1993=22，所以应去掉22，把1993分成

（2+3+…+21）+（23+24+…+63）

这一形式时，这些数的乘积最大，其积为

2×3×…×21×23×24×…×63。

说明：这是第四届“华杯赛”武汉集训队的一道训练题，在训练学生时，发现大多数学生不加思索地沿用例10的思考方法，得出答案是3663×4，而忽视了题中条件“分成若干个互不相等的自然数的和”。由此可见，认真审题，弄清题意的重要性。

例12 将1995表示为两个或两个以上连续自然数的和，共有多少种不同的方法？

分析与解：为了解决这个问题，我们设1995可以表示为以a为首项的k(k＞1）个连续自然数之和。首项是a，项数为k，末项就是a+k-1，由等差数列求和公式，得到

化简为

(2a+k-1）×k=3990。(*)

注意，上式等号左边的两个因数中，第一个因数2a+k-1大于第二个因数k，并且两个因数必为一奇一偶。因此，3990有多少个大于1的奇约数，3990就有多少种形如（*）