内容发布更新时间 : 2024/11/5 19:35:26星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

式的分解式，也就是说，1995就有多少种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法。因为1995与3990的奇约数完全相同，所以上述说法可以简化为，1995有多少个大于1的奇约数，1995就有多少种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法。

1995=3×5×7×19，共有15个大于1的奇约数，所以本题的答案是15种。

一般地，我们有下面的结论：

若自然数N有k个大于1的奇约数，则N共有k种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法。

知道了有多少种表示方法后，很自然就会想到，如何找出这些不同的表示方法呢？从上面的结论可以看出，每一个大于1的奇约数对应一种表示方法，我们就从1995的大于1的奇约数开始。1995的大于1的奇约数有。

3，5，7，15，19，21，35，57，95，

105，133，285，399，665，1995。

例如，对于奇约数35，由（*）式，得

3990=35×114，

因为114＞35，所以 k=35，2a+k-1=114，解得a=40。推知35对应的表示方法是首项为40的连续35个自然数之和，即

1995=40+41+42+…+73+74。

再如，对于奇约数399，由（*）式，得

3990=399×10，因为399＞10，所以k=10，2a+k-1=399，解得a=195。推知399对应的表示方法是首项为195的连续10个自然数之和，即

1995=195+196+197+…+204。

对于1995的15个大于1的奇约数，依次利用（*）式，即可求出15种不同的表示方法。

练习4

1．将210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5。第1个数与第6个数分别是几？

2．将135个人分成若干个小组，要求任意两个组的人数都不同，则至多可以分成多少组？

3．把19分成几个自然数（可以相同）的和，再求出这些数的乘积，并且要使得到的乘积尽可能大，最大乘积是多少？

4．把1999分拆成两个自然数的和，当不考虑加数的顺序时，一共有多少种不同的分拆方法？求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应将1999如何分拆？

5．把456表示成若干个连续自然数的和。要求写出所有的表达式（如9可以有两种表达形式：9=4+5=2+3+4）。

6．几个连续自然数相加，和能等于2000吗？如果能，有几种不同的答案？写出这些答案。如果不能，说明理由。

7．把70分拆成11个不同自然数的和，这样的分拆方式一共有多少种？将不同的表示方法列举出来。

8．有一把长为13厘米的直尺，在上面刻几条刻度线，使得这把尺子能一次量出1到13厘米的所有整厘米的长度。问：至少要刻几条线？要刻在哪些位置上？

练习4

1.15，40。

解：这7个数中第4个数是中间数，它是这7个数的平均数，即210÷7=30。因为相邻 2数的差都是 5，所以这7个数是15，20，25，30，35，40，45。故第1个数是15，第6个数是40。

2.15组。

解：因为要求任意两个组的人数不相等，且分得的组要尽可能地多，所以，要使每个组分得的人数尽可能地少。

由于1+2+3+4+…+14+15=120，所以将 135人分成每组人数不等的15个组后还余15人。剩下的15人不能再组成一个或几个新的小组，否则就会出现两个或两个以上的组的人数相等的情况。因此，应将剩下的15人安插在已分好的15个组之中，所以至多可以分成15个组。这15个组各组人数可以有多种情况，例如，分别是 2，3，4，5，6，…，14，15，16人。

3.972。

解：要使乘积尽可能大，把19分成的几个自然数中，3要尽量多且不能有1，所以应把19分成5个3及1个4的和。最大乘积为35×4=972。

4.有999种方法，分成999+1000时积最大。

5.提示：456有三个大于1的奇约数3，19，57。利用例12的方法可得：对于3，有k=3，a=151；对19，有k=19，a=15；对于57，有k=16，a=21。所以456有如下三种分拆方法：

456＝151+152+153

＝21+22+23+…+39

＝15+16+17+…+33。

6.能。

提示：与例12类似，2000=24×53，有三个大于1的奇约数5，25，125。对于5，有k=5，a=398；对于25，有k=25，a=68；对于125，有k=32， a=47。所以2000共有如下三种分拆方法：

2000＝398+399+400+401+402

＝68+69+70+…+91+92

＝47+48+49+…+77+78。

7.5种。

解：1+2+3+…+11=66，现在要将4分配到适当的加数上，使其和等于70，又要使这11个加数互不相等。

先将4分别加在后4个加数上，得到4种分拆方法：

70＝1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+15

＝1+2+3+4+5+6+7+8+9+14+11

＝1+2+3+4+5+6+7+8+13+10+11

＝1+2+3+4+5+6+7+12+9+10+11。

再将4拆成1+3，把1和3放在适当的位置上，仅有1种新方法：

1+2+3+4+5+6+7+8+9+13+12。

再将4拆成1+1+2或1+1+1+1+1或2+2，分别加在不同的位置上，都得不出新的分拆方法，故这样的分拆方法一共有5种。

8.至少要刻4条线，例如刻在1，4，5，11厘米处，便可一次量出1到13厘米的所有整厘米的长度。这是因为由1，4，5，11，13这5个数以及它们之间任意2个的差能够得到1到13这13个整数，见下列各式：

5-4=1， 13-11=2， 4-1=3，

11-5=6， 11-4=7， 13-5=8，

13-4=9， 11-1＝10， 13-1＝12。

下面我们来证明，只有3个刻度是不够的。如果只刻了3条线，刻在a厘米、b厘米、 c厘米处（0＜a＜b＜c＜13），那么 a，b，C，13两两之差（大减小），只有至多6个不同的数：13-a，13-b，13-c，c-a，c-b，b-a，再加上a，b，c，13这4个数，至多有10个不同的数，不可能得到1到13这13个不同的整数来。

顺便说明一下，刻法不是唯一的。例如我们也可以刻在1厘米、2厘米、6厘米、10厘米这4个位置上。

第5讲 有趣的数字