内容发布更新时间 : 2024/11/5 21:43:27星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

（4）32=9，42=16，282=784，552=3025。

例10 用1，2，…，9这9个数字，组成数字不重复使用的3个三位数，使得第2个数是第1个数的2倍，第3个数是第1个数的3倍。例如192，384，576。类似这样的3个三位数还有好几组。如果这样的三位数有n组，那么在所有这3n个三位数中，最大的一个与最小的一个的差是多少？

解：在一组满足条件的3个三位数中，第3个数最大，且是3的倍数，依次验证987，984，981，其中981适合（（327，654，981）是一组满足条件的3个三位数）。

在一组三位数中，第一个最小，在123～192中经过试验，只有192适合题意。

故本题的解为981-192=789。

说明：进一步的推算可知，满足题设条件的三位数共有4组：

192，384，576；327，654，981；

219，438，657；273，546，819。

例11 用1，2，3，…，9这9个数字，写出大小相等的3个分数，

解：我们先考虑这些分数都是真分数的情况，解题的关键是抓住以下两个结论：

①三个分数中至多只有一个最简分数。

②数字5不会出现在某个分数的分子或分母的个位上。（为什么？请读者考虑。）

9个数字组成3个真分数，每个数字只用一次，有如下3种情况：

由②知5只能出现在某个分母的十位上，显然这个分数不是最简分数，故此分母要从51～59的合数中去选取。经试算可得3个解：

综合（1）（2）（3）三种情况，满足条件的真分数有7个解，分子分母颠倒后，又得7个解。本题共有14个解。

例12 两人轮流从1，2，…，9这9个数字中取数。每次取一个，谁先取的数中有3个数的和为15就算赢家。

如果第1个人取的数是5，那么第2个人应该取几才能使自己立于不败之地？

分析与解：本题条件中的“和为15”，使我们联想到右图中的“幻方”，它的每行、每列及对角线的和都等于15。故本题等价于甲乙二人轮流将黑白二色棋子放入九宫格中，哪一方放入的棋子先成一行（横行、竖行和斜行）者为胜。甲先占了中间一格，乙应选哪一格才能保证自己不败？

这个问题实际上是“井字棋”游戏，乙的对策如果不对，会导致失败。假设乙选择边上的位置，比如选3，则甲选4，乙只好选6。甲再选2。这时8，9这两个位置乙只能选一个，甲必得其一，这样甲就必胜无疑了。

所以当甲选5时，乙应选九宫格中位于角上的数字，即应选2，4，6，8中的一个，才能使自己立于不败之地。]

练习5

1．将数码1，2，3，4，5，6，7，8，9填入下面的9个方格中，组成3个三位数连乘的算式：

□□□×□□□×□□□。

连乘积可能取到的最大值是多少？

2．在下面的一排数字之间填入 5个加号，组成一个连加算式，将这个算式的计算结果的最大值记为a，最小值记为b，则a+b的值是多少？

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3．请你将1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字填入下图的方格中，使得每一行、每一列及两条对角线上的3个数字和都不相等。

4．用1，2，…，9这9个数字，最多可以组成多少个质数？要求每个数字都要用一次且只能用一次。

5．用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字排成没有重复数字的九位数，且这个九位数是11的倍数。这样的九位数中，最大的一个是多少？

6．能否将数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入左下图中的圆圈中（每个数填一次），使得各个阴影三角形的3个顶点上的数之和相等？

7．在上图的圆圈里，按照顺时针方向把9个数字分成3段，组成3个数。这3个数恰好是一个乘法等式：

28×157=4396。

下面8个圆圈也有这样的特点，请你也来试一试，怎么分段？

注意：最后两个圆圈分段以后，被乘数是一位数。

练习5

1.6117211516。

解：仿例3的解法，可求得

763×852×941＝6117211516。

2.6993。

提示：最大值a=1+2+3+4+5+6789＝6804，

最小值b=12+34+56+78+9＝189，

a+b＝6804+189＝6993。

3.

4.6个。

解：1至9中的质数有4个：2，3，5，7，剩下的5个数中只有2个奇数：1和9。而除了2以外的质数都是奇数，故本题的解是最多可组成 6个质数。例如 2，3，5，7，89，461。

5.987652413。

解：因为这9个数字的和是45，根据能被11整除的数的特征，这个九位数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是11的倍数，所以这个差只能是0，11，22，33和44。由于各位数字之和是45为一奇数，根据数的奇偶性可知奇位数字之和与偶位数字之和，只可能是一奇一偶，故它们的差不能是0，22或44。

若差是33，则奇位数字之和与偶位数字之和，只能是39和6，但这是不可能的。于是差只能为11。奇位数字之和是28，偶位数字之和是17，这样可以求出最大数为987652413。

6.能。

解：先考虑位于3个“角”上的3个三角形，它们没有公共顶点，共涉及到9个数（只差中间1个○内的数）。注意到0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，这 9个数有如下几种情况：

（1）和为42。每个三角形3个顶点上的3个数字之和为14，中间数为3。与中间数相关的3个三角形另外两边构成的数对只能是9，8；7，6。还缺一对，不可能。

（2）和为45。每个三角形3个顶点上3个数字和为15，中间数为0。与中间数相关的3个三角形另外两边构成的数对只能是9，2；7，4；5，6。