复变函数习题及解答 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/23 13:25:23星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第一章 复变函数习题及解答

写出下列复数的实部、虚部;模和辐角以及辐角的主值;并分别写成代数形式,三角形式和指数形式.(其中?,R,?为实常数)

(1)?1?3i; (2)

1?i2(cosiRsin?ππ?isin)33; (3)1?cos??isin?;

(4)e; (5)e ; (6)i?i 4π4π?2kπ,k?0,?1,?2,L 答案 (1)实部-1;虚部 ?3;模为2;辐角为 3;主辐角为3;

原题即为代数形式;三角形式为

2(cos4π4π4π?isin)i33;指数形式为2e3.

5πi5π5π2[cos?isin], 2e333 (2)略为

[2sin()]eiarctan[ctan(?/2)]2 (3)略为

iee (4)略为 ;e(cos1?isin1)

? (5)略为:cos(Rsin?)?isin(Rsin?)

(6)该复数取两个值

2?2(cos??isin?)?2?2ei?,??arctan(1?2);i?略为 2?2(cos??isin?)?2?2e,??π?arctan(1?2);

计算下列复数 1)?1?i3??10;2)??1?i?;

16i3π/4?2kπ3132e答案 1)?512?i5123;2)

计算下列复数

3 (1)a?ib; (2)i;

?k?0,1,2?;

2[ 答案 (1)2a2?b2?a?ia2?b2?a]

(2)ei(?/6?2n?/3)

21?2ixx?1的实部和虚部. x 已知为实数,求复数【解】 令

21?2ixx2?1?p?iq,(p,q?R),即p,q为实数域(Real).平方得到

22 1?2xix?1?(p?q)?2xyi,根据复数相等,所以

2即实部为 ?x,虚部为?x?1 说明 已考虑根式函数是两个值,即为?值.

az?b|?1|z|?1,a,bbz?a 如果 试证明对于任何复常数有

|【证明】 因为|z|?1,?zz?1?z?1/z,所以

nn?1??Pz?az?az???an?1z?an?0的根,则a?ib01a?ib 如果复数是实系数方程

一定也是该方程的根.

k证 因为a0,a1,… ,an均为实数,故a0?a0,a1?a1,… ,an?an.且z?z,

????k故由共轭复数性质有:P?z??Pz.则由已知P?a?ib??0.两端取共轭得 即P?a?ib??0.故a?ib也是P?z??0之根.

注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证.此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的.这一点在代数学中早已被大家认识.特别地,奇次实系数多项式至少有一个实零点.

2222|z?z|?|z?z|?2(|z|?|z|),并说明其几何意义. 121212 证明:

??nn(1?i)?(1?i) 若 ,试求n的值.

?nn?n?2(1?i)n?22(cos?4?isin4)?2(cos4?isin4)n??nn?n?22(1?i)?2(cos?isin44)?2(cos4?isin4) 【解】 因为

n?n?n?所以 sin4??sin4 即为sin4?0所以

n?4nnnn?k?,n?4k,(k?0,?1,?2,L)

将下列复数表为sin?,cos?的幂的形式 (1) cos5?; (2)sin5?

(1) cos5??10cos3?sin2??5cos?sin4?4235答案 (2) 5cos?sin??10cos?sin??sin?

证明:如果 w是1的n次方根中的一个复数根,但是w?1即不是主根,则必有 对于复数

?k,?k,证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式:

|??k?k|?(?|?k||?k|)??|?k|22k?1k?1k?1nnn2?|?k?1nk|2 成立。

【证明】 对任意n个复数,由三角不等式知 再由关于实数的柯西不等式得

|??k?k|?(?|?k||?k|)??|?k|22k?1k?1k?1nnn2?|?k?1nk|2,证毕。

1?sin(n?)??sin22;cos??cos2??cos3??L?cosn???2sin2证明

cossin??sin2??sin3??L?sinn???1?cos(n?)?222sin?2 成立.

下列不等式在复数平面上表示怎样的点集? 1)0?Re?z??1;2)

2?z?z0?3;3)?0?argz??1;4)0?Im?z??π;

z?15)

z?1?2

(答 1)平面上由x?0与x?1所构成的宽度为1的铅直带形域;2)以z0为心,内半径为

??2,外半径为3的圆环域;3)顶点在原点,开度为?1??0的角形区域;4)宽度为π54?z0R?3为半径的圆之外的说平带形域,边界为y?0,y??;5)以3为心,

?部区域)

指出下列关系表示的点之轨迹或范围;并说明是何种点集?

1)2)

arg?z?i??π4

z?2?z?2?5

arg?z?i??π4知

解 1)令z?x?iy,由

?Re?z?i??x?0y?1π?arctan???Imz?i?y?1?0?x4 且

?y?x?1?即 ?x?0

π 这样的点为z平面上从点z0?i出发(但不含z0点)与实轴倾角为4的射线.此射线所

形成的点集既非开集,也非闭集. 2)设z?x?iy,则原条件即为

z?2?z?2?25?10z?2

由模的定义得 化简得

2253这是一椭圆,长半轴为2,短半轴为2,中心在原点,它是有界闭集(全部为边界点).

描述下列不等式所确定的点集,并指出是区域还是闭区域,有界还是无界,单连通还是多(或复)连通. (1)

2?z?i?3 (2)Re?iz??2

z?3?1?1?arg?z???1?π z?2(3) (4)

(5)z?1?2z?1 (6)z?1?z?2?5 (7)z?2?z?2?1 (8)zz?iz?iz?1

解 (1)是以i为圆心、在以2为半径的圆外,3为半径的圆内的圆环,是有界闭区域、

多连通.(图形略)

(2)即y??2是下半平面,无界单连通闭区域.

(3)z到3的距离比z到2的距离大,因此,它是左半平面点,是无界的多连通的区域.

(4)在直线y?kx的上方,其中k??tan1.无界单连通区域 (5)即?z?1?z?1?4?z?1?z?1

z?212,去掉z?2一

????5x2?y2?2x?1?03或

5?16?2?x???y?3?9是无界多连通区域 ?(6)此不等是焦点在z?1和z??2初,长半轴为5/2的椭圆内部,为有界单连通闭区域).

21??42x????4x?y?12?部分是无界单连通区域. 17(7)这是半支双曲线:,?2222x??y?1??0,只有当x?0,y?1成立,因此,x?y?2y?1(8)不等式即,或

2只代表复平面上一个点z?i. 已知映射

w?1z,求

(1) 圆周的象; (2)直线y?x的象; (3)区域x?1的象. 答案 (1) (

|w|?11||z|?2?|z|2,为圆周

2)直线

111?i1-1w???,u?,v=,?u??vzx(1?i)2x2x2xw? (3) 先看直线 x=1的象,

11?iy1?y??u?,v?,?u2?v2?u2221?iy1?y1?y1?y

22而 z=0 的象w??在圆的外部,因此x?1的象是圆的内部即为u?v?u

讨论下列函数在指定点的极限存在性,若存在求出其值,并判断在该点的连续性.

2??fz?2x?iy1),z0?2i 2)

f?z??1?zz?????2i??zz?,z0?0

解 1)f?z??u?x,y??iv?x,y?,z0?x0?iy0

????则u?x,y??2x,v?x,y??y,x0,y0?0,2,

2??????又注意 fz0?ux0,y0?ivx0,y0?4i

2??fz?2x?iy即在点z0?2i处极限存在且连续.