内容发布更新时间 : 2024/5/2 2:29:09星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第一章 复变函数习题及解答

写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中?,R,?为实常数)

（1）?1?3i； （2）

1?i2(cosiRsin?ππ?isin)33； （3）1?cos??isin?；

（4）e； （5）e ； （6）i?i 4π4π?2kπ,k?0,?1,?2,L 答案 （1）实部－1；虚部 ?3；模为2；辐角为 3；主辐角为3；

原题即为代数形式；三角形式为

2(cos4π4π4π?isin)i33；指数形式为2e3．

5πi5π5π2[cos?isin], 2e333 （2）略为

[2sin()]eiarctan[ctan(?/2)]2 （3）略为

iee （4）略为 ;e(cos1?isin1)

? （5）略为：cos(Rsin?)?isin(Rsin?)

（6）该复数取两个值

2?2(cos??isin?)?2?2ei?,??arctan(1?2);i?略为 2?2(cos??isin?)?2?2e,??π?arctan(1?2);

计算下列复数 1）?1?i3??10；2）??1?i?；

16i3π/4?2kπ3132e答案 1）?512?i5123；2）

计算下列复数

3 （1）a?ib； （2）i；

?k?0,1,2?；

2[ 答案 （1）2a2?b2?a?ia2?b2?a]

（2）ei(?/6?2n?/3)

21?2ixx?1的实部和虚部． x 已知为实数，求复数【解】 令

21?2ixx2?1?p?iq,(p,q?R)，即p,q为实数域(Real).平方得到

22 1?2xix?1?(p?q)?2xyi，根据复数相等，所以

2即实部为 ?x,虚部为?x?1 说明 已考虑根式函数是两个值，即为?值．

az?b|?1|z|?1,a,bbz?a 如果 试证明对于任何复常数有

|【证明】 因为|z|?1,?zz?1?z?1/z，所以

nn?1??Pz?az?az???an?1z?an?0的根，则a?ib01a?ib 如果复数是实系数方程

一定也是该方程的根．

k证 因为a0，a1，… ，an均为实数，故a0?a0，a1?a1，… ，an?an．且z?z，

????k故由共轭复数性质有：P?z??Pz．则由已知P?a?ib??0．两端取共轭得 即P?a?ib??0．故a?ib也是P?z??0之根．

注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点．

2222|z?z|?|z?z|?2(|z|?|z|),并说明其几何意义． 121212 证明：

??nn(1?i)?(1?i) 若 ，试求n的值.

?nn?n?2(1?i)n?22(cos?4?isin4)?2(cos4?isin4)n??nn?n?22(1?i)?2(cos?isin44)?2(cos4?isin4) 【解】 因为

n?n?n?所以 sin4??sin4 即为sin4?0所以

n?4nnnn?k?,n?4k,(k?0,?1,?2,L)

将下列复数表为sin?,cos?的幂的形式 （1） cos5?； （2）sin5?

(1) cos5??10cos3?sin2??5cos?sin4?4235答案 (2) 5cos?sin??10cos?sin??sin?

证明：如果 w是1的n次方根中的一个复数根，但是w?1即不是主根，则必有 对于复数

?k,?k，证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式：

|??k?k|?(?|?k||?k|)??|?k|22k?1k?1k?1nnn2?|?k?1nk|2 成立。

【证明】 对任意n个复数，由三角不等式知 再由关于实数的柯西不等式得

|??k?k|?(?|?k||?k|)??|?k|22k?1k?1k?1nnn2?|?k?1nk|2,证毕。

1?sin(n?)??sin22;cos??cos2??cos3??L?cosn???2sin2证明

cossin??sin2??sin3??L?sinn???1?cos(n?)?222sin?2 成立．

下列不等式在复数平面上表示怎样的点集？ 1）0?Re?z??1；2）

2?z?z0?3；3）?0?argz??1；4）0?Im?z??π；

z?15）

z?1?2

（答 1）平面上由x?0与x?1所构成的宽度为1的铅直带形域；2）以z0为心，内半径为

??2，外半径为3的圆环域；3）顶点在原点，开度为?1??0的角形区域；4）宽度为π54?z0R?3为半径的圆之外的说平带形域，边界为y?0，y??；5）以3为心，

?部区域）

指出下列关系表示的点之轨迹或范围；并说明是何种点集？

1）2）

arg?z?i??π4

z?2?z?2?5

arg?z?i??π4知

解 1）令z?x?iy，由

?Re?z?i??x?0y?1π?arctan???Imz?i?y?1?0?x4 且

?y?x?1?即 ?x?0

π 这样的点为z平面上从点z0?i出发（但不含z0点）与实轴倾角为4的射线．此射线所

形成的点集既非开集，也非闭集． 2）设z?x?iy，则原条件即为

z?2?z?2?25?10z?2

即

由模的定义得 化简得

2253这是一椭圆，长半轴为2，短半轴为2，中心在原点，它是有界闭集（全部为边界点）．

描述下列不等式所确定的点集，并指出是区域还是闭区域，有界还是无界，单连通还是多（或复）连通. （1）

2?z?i?3 （2）Re?iz??2

z?3?1?1?arg?z???1?π z?2（3） （4）

（5）z?1?2z?1 （6）z?1?z?2?5 （7）z?2?z?2?1 （8）zz?iz?iz?1

解 （1）是以i为圆心、在以2为半径的圆外，3为半径的圆内的圆环，是有界闭区域、

多连通．（图形略）

（2）即y??2是下半平面，无界单连通闭区域．

（3）z到3的距离比z到2的距离大，因此，它是左半平面点，是无界的多连通的区域.

（4）在直线y?kx的上方，其中k??tan1．无界单连通区域 （5）即?z?1?z?1?4?z?1?z?1

z?212，去掉z?2一

????5x2?y2?2x?1?03或

5?16?2?x???y?3?9是无界多连通区域 ?（6）此不等是焦点在z?1和z??2初，长半轴为5/2的椭圆内部，为有界单连通闭区域）．

21??42x????4x?y?12?部分是无界单连通区域． 17（7）这是半支双曲线：，?2222x??y?1??0，只有当x?0，y?1成立，因此，x?y?2y?1（8）不等式即，或

2只代表复平面上一个点z?i． 已知映射

w?1z，求

(1) 圆周的象； （2）直线y?x的象； （3）区域x?1的象． 答案 (1) （

|w|?11||z|?2?|z|2，为圆周

2）直线

111?i1-1w???,u?,v=,?u??vzx(1?i)2x2x2xw? （3） 先看直线 x=1的象，

11?iy1?y??u?,v?,?u2?v2?u2221?iy1?y1?y1?y

22而 z＝0 的象w??在圆的外部，因此x?1的象是圆的内部即为u?v?u

讨论下列函数在指定点的极限存在性，若存在求出其值，并判断在该点的连续性．

2??fz?2x?iy1），z0?2i 2)

f?z??1?zz?????2i??zz?，z0?0

解 1）f?z??u?x,y??iv?x,y?，z0?x0?iy0

????则u?x,y??2x，v?x,y??y，x0,y0?0,2，

2??????又注意 fz0?ux0,y0?ivx0,y0?4i

2??fz?2x?iy即在点z0?2i处极限存在且连续．