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Born to win
2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 若limsinx(cosx?b)?5，则a =
x?0ex?a，b =.
(2) 函数f(u,v)由关系式f[xg(y),y]?x?g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)?0，
?2f则??u?v.
11?x2xe,??x??22，则2f(x?1)dx?(3) 设f(x)???121??1,x?2?.
222(4) 二次型f(x1,x2,x3)?(x1?x2)?(x2?x3)?(x3?x1)的秩为
. .
(5) 设随机变量X服从参数为λ的指数分布, 则P{X?DX}?22(6) 设总体X服从正态分布N(μ1,σ), 总体Y服从正态分布N(μ2,σ), X1,X2,?Xn1
和Y1,Y2,?Yn2分别是来自总体X和Y的简单随机样本, 则
22n2?n1???(Xi?X)??(Yj?Y)?j?1??E?i?1??n1?n2?2??????.
二、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 函数f(x)?|x|sin(x?2)在下列哪个区间内有界( ) 2x(x?1)(x?2)(B) (0 , 1).
(C) (1 , 2).
(D) (2 , 3).
(A) (?1 , 0).
1??f(),x?0(8) 设f (x)在(??,??)内有定义，且limf(x)?a，g(x)??x，则( )
x????0,x?0 (A)x?0必是g(x)的第一类间断点. (B) x?0必是g(x)的第二类间断点. (C) x?0必是g(x)的连续点.
(D) g(x)在点x?0处的连续性与a的取值有关.
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(9) 设f(x)?x(1?x), 则 ( )
(A) x?0是f(x)的极值点, 但(0,0)不是曲线y?f(x)的拐点. (B) x?0不是f(x)的极值点, 但(0,0)是曲线y?f(x)的拐点. (C) x?0是f(x)的极值点, 且(0,0)是曲线y?f(x)的拐点. (D) x?0不是f(x)的极值点, (0,0)也不是曲线y?f(x)的拐点. (10) 设有下列命题：
① 若
n?1??(u2n?1?u2n)收敛，则?un收敛.
n?1?? ② 若
n?1?un收敛，则?un?1000收敛.
n?1?
?un?1?1，则?un发散. ③ 若limn??unn?1 ④ 若
n?1?(un?vn)收敛，则?un，?vn都收敛.
n?1n?1???则以下命题中正确的是( )
(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)①④
(11) 设f?(x)在[a,b]上连续，且f?(a)?0,f?(b)?0，则下列结论中错误的是( )
(A) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f(x0)>f(a). (B) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f(x0)> f(b). (C) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f?(x0)?0. (D) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f(x0)= 0.
(12) 设n阶矩阵A与B等价, 则必有( )
(A) 当|A|?a(a?0)时, |B|?a. (B) 当|A|?a(a?0)时, |B|??a. (C) 当|A|?0时, |B|?0. (D) 当|A|?0时, |B|?0.
(13) 设n阶矩阵A的伴随矩阵A?0, 若ξ1,ξ2,ξ3,ξ4是非齐次线性方程组 Ax?b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax?0的基础解系( ) (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.
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(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.
(14)设随机变量X服从正态分布N(0,1), 对给定的α?(0,1), 数uα满足P{X?uα}?α,
若P{|X|?x}?α, 则x等于( ) (A) uα. (B) u21?α2. (C) u1?α. (D) u1?α.
2三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分8分)
1cos2x?). 求lim(2x?0sin2xx(16) (本题满分8分)
求
??(Dx2?y2?y)d?，其中D是由圆x2?y2?4和
(x?1)2?y2?1所围成的平面区域(如图).
(17) (本题满分8分)
设f (x) , g(x)在[a , b]上连续，且满足
?a证明：
xf(t)dt??g(t)dt，x ? [a , b)，?f(t)dt??g(t)dt.
aaabbxbb?axf(x)dx??axg(x)dx.
(18) (本题满分9分)
设某商品的需求函数为Q?100?5P，其中价格P?(0,20)，Q为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性Ed(Ed> 0)； (II) 推导
dR?Q(1?Ed)(其中R为收益)，并用弹性Ed说明价格在何范围内变化时， dP降低价格反而使收益增加. (19) (本题满分9分) 设级数
x4x6x8????(???x???) 2?42?4?62?4?6?8的和函数为S(x). 求：
(I) S(x)所满足的一阶微分方程；(II) S(x)的表达式. (20)(本题满分13分)