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2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）

数学（理科）

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2015年福建，理1，5分】若集合A??i,i2,i3,i4?（i是虚数单位），B??1,?1?，则A?B等于（ ）

（A）??1? （B）?1? （C）?1,?1? （D）? 【答案】C

【解析】由已知得A??i,?1,?i,1?，故A?B??1,?1?，故选C． （2）【2015年福建，理2，5分】下列函数为奇函数的是（ ）

（A）y?x （B）y?sinx （C）y?cosx （D）y?ex?e?x 【答案】D

【解析】函数y?x是非奇非偶函数；y?sinx和y?cosx是偶函数；y?ex?e?x是奇函数，故选D．

x2y2（3）【2015年福建，理3，5分】若双曲线E:?右焦点分别为F1,F2，点P在双曲线E上，且PF1?3，?1的左、

916则PF2等于（ ）

（A）11（B）9（C）5 （D）3

【答案】B

【解析】由双曲线定义得PF1?PF2?2a?6，即3?PF2?2a?6，解得PF2?9，故选B．

（4）【2015年福建，理4，5分】为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，

得到如下统计数据表： 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 收入x（万元） 支出y（万元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 ??0.76,a?，据此估计，该社区一户收入为15万元家??a??y?bx??bx?，其中b根据上表可得回归直线方程y庭年支出为（ ）

（A）11.4万元 （B）11.8万元 （C）12.0万元 （D）12.2万元 【答案】B

8.2?8.6?10.0?11.3?11.96.2?7.5?8.0?8.5?9.8【解析】由已知得x?，y?，故?10（万元）?8（万元）

55??8?0.76?10?0.4，所以回归直线方程为?ay?0.76x?0.4，当社区一户收入为15万元家庭年支出为?，故选B． y?0.76?15?0.4?11.8（万元）?x?2y?0?（5）【2015年福建，理5，5分】若变量x,y满足约束条件?x?y?0，则z?2x?y的最

?x?2y?2?0?小值等于（ ）

53 （A）? （B）?2 （C）? （D）2

22【答案】A 【解析】画出可行域，如图所示，目标函数变形为y?2x?z，当z最小时，直线y?2x?z的纵截距最大，1??故将 直线y?2x经过可行域，尽可能向上移到过点B??1,?时，z取到最小值，最小值为

2??15z?2???1????，故选A．

22（6）【2015年福建，理6，5分】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ）

1

（A）2 （B）1 （C）0 （D）-1 【答案】C

【解析】程序在执行过程中S,i的值依次为：S?0,i?1；S?0,i?2；S??1,i?3；S??1,i?4；S?0,i?5；

S?0,i?6，程序结束，输出S?0，故选C．

（7）【2015年福建，理7，5分】若l,m是两条不同的直线，m垂直于平面?，则“l?m”是“l//?”的（ ）

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若l?m，因为m垂直于平面?，则l//?或l??，若l//?，又m垂直于平面?，则l?m，所以“l?m”

是“l//?”的必要不充分条件，故选B．

（8）【2015年福建，理8，5分】若a,b是函数f?x??x2?px?q?p?0,q?0?的两个不同的零点，且a,b,?2这三 个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p?q的值等于（ ）

（A）6 （B）7 （C）8 （D）9 【答案】D

【解析】由韦达定理得a?b?p，a?b?q，则a?0,b?0，当a,b,?2适当排序后成等比数列时，?2必为等比中

4项，故a?b?q?4，b?．当适当排序后成等差数列时，?2必不是等差中项，当a是等差中项时，

a448解得a?1,b?4；当是等差中项时，?a?2，解得a?4,b?1，综上所述，a?b?p?5，2a??2，

aaa所以p?q?9，故选D．

????????????1????y（9）【2015年福建，理9，5分】已知AB?AC,AB?,AC?t，若点p是?ABC所在

t????????C????????????AB4AC平面内一点，且AP??????????，则PB?PC的最大值等于（ ）

PABACA（A）13 （B）15 （C）19 （D）21

【答案】A

?????1?【解析】以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则B?,0?，C?0,t?，AP??1,0??4?0,1???1,4?，?t??????1????????????1??1?即P?1,4?，所以PB???1,?4?，PC???1,t?4?，因此PB?PC?1??4t?16?17???4t?，因为

t?t??t?????????1111?4t?2?4t?4，所以当?4t，即t?时取等号，PB?PC的最大值等于13，故选A． ttt2（10）【2015年福建，理10，5分】若定义在R上的函数f?x?满足f?0???1，其导函数f??x?满足f??x??k?1，则下列结论中一定错误的是（ ）

11k?1?1?1??1??1?（A）f??? （B）f??? （C）f? （D）f? ????kkkk?1k?1k?1k?1k?1????????【答案】C

【解析】由已知条件，构造函数g?x??f?x??kx，则g??x??f??x??k?0，故函数g?x?在R上单调递增，且

k11?1??1??1???1，f?，所以结论中一定错误的是?0，故g???g?0?，所以f?????k?1k?1k?1k?1k?1k?1??????C，选项D不确定；构造函数h?x??f?x??x，则h??x??f??x??1?0，所以函数h?x?在R上单调递增，

Bx且

1?1??0，所以h???h?0?，即k?k??1?1f?????1，?k?k?1?1f????1，选项A，B无法判断，故选C． ?k?k第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

（11）【2015年福建，理11，5分】?x?2?的展开式中，x2的系数等于 （用数字填写答案）． 【答案】80

2

5232【解析】?x?2?的展开式中x2项为C52x?80，所以x2的系数等于80．

5（12）【2015年福建，理12，5分】若锐角?ABC的面积为103，且AB?5，AC?8，则BC等于 ． 【答案】7

31????【解析】由已知得?ABC的面积为AB?ACsinA?20sinA?103，所以sinA?，A??0,?，所以A?．由

2223??余弦定理得BC2?AB2?AC2?2AB?ACcosA?49，BC?7．

（13）【2015年福建，理13，5分】如图，点A的坐标为?1,0?，点C的坐标为?2,4?，函数f?x??x2，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等 ．

5【答案】

1252575【解析】由已知得阴影部分面积为4??x2dx?4??．所以此点取自阴影部分的概率等于3?．

141233??x?6,x?2（14）【2015年福建，理14，5分】若函数f?x???（a?0且a?1）的值域是?4,???，则实数a的

3?logx,x?2a?取值范围是 ．

【答案】?1,2?

【解析】当x?2，故?x?6?4，要使得函数f?x?的值域为?4,???，只需f1?x??3?logax?x?2?的值域包含于故a?1，所以f1?x??3?loga2，所以3?loga2?4，解得1?a?2，所以实数a取值范围是?1,2?． ?4,???，

（15）【2015年福建，理15，5分】一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2?xn?n?N*?，其中xk?k?1,2,?,n? 称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，

?x4?x5?x6?x7?0?或者由1变为0），已知某种二元码x1x2?x7的码元满足如下校验方程组：?x2?x3?x6?x7?0，其中运算

?x?x?x?x?0357?1?定义为：0?0?0,0?1?1,1?0?1,1?1?0，其中运算?定义为：0?0?0,0?1?1,1?0?1,1?1?0．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于 __． 【答案】5

【解析】由题意得相同数字经过运算后为0，不同数字运算后为1．由x4?x5?x6?x7?0可判断后4个数字

0可判断后2个数字没错，即出错的是第4个或第5个；由出错；由x2?x3?x6?x7?x1?x3?x5?x7?0可判断出错的是第5个，综上，第5位发生码元错误．

三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

（16）【2015年福建，理16，13分】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将

被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用 的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝 试，直至该银行卡被锁定．

（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；

（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．

5431解：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则P(A)????．

65421511542（2）依题意得，X所有可能的取值是1，2，3，又P(X?1)?,P(X?2)???,P(X?3)???1?

6656653所以X的分布列为 1 2 3 X 112p 6633