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“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛 （天津赛区）试题参考答案及评分标准

一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分） （1）设x?5?3，则代数式x(x?1)(x?2)(x?3)的值为( ). 2（B）1

（C）﹣1

（D）2

（A）0 【答】C． 解：由已知得x

2?3x?1?0， 于是

x(x?1)(x?2)(x?3)?(x2?3x)(x2?3x?2)?(x?3x?1)?1??1.22（2）已知x，y，z为实数，且满足x?2y?5z?3，x?2y?z??5，则

x2?y2?z2的最小值为( ).

（A）【答】D．

1 11（B）0 （C）5 （D）

54 11?x?3z?1，?x?2y?5z?3，解：由 ? 可得 ?

y?z?2.x?2y?z??5，??于是 x2?y2?z2?11z2?2z?5．

154222时，x?y?z的最小值为． 1111y因此，当z?（3）若x?1，y?0，且满足xy?x，x?x3y，则x?y的值为( ). y（C）

（A）1 【答】C．

（B）2

9 2（D）

11 2初中数学竞赛复赛试题答案第1页（共8页）

解：由题设可知y?故yxy?1，于是 x?yx3y?x4y?，所以4y?1?1．

1?91，从而x?4．于是x?y?．

22111?3?3?3123?1，则4S的整数部分等于( ). 32011（C）6

（D）7

（4）设S?（A）4 【答】A．

（B）5

111?11? 3 ， 2011，因为3????解：当k?2，，?， 2k2k?1kkk?1k?k?1???????所以1?S?1?11??2333?11?11?5?1?????． 201132?22011?2012?4 于是有4?4S?5，故4S的整数部分等于4．

，AC上，BE，CD相交于点F，设（5）点D，E分别在△ABC的边ABS四边形EADF?S1，S?BDF?S2，S?BCF?S3，S?CEF?S4，

则S1S3与S2S4的大小关系为( ).

（A）S1S3?S2S4 （B）S1S3?S2S4 （C）S1S3?S2S4 （D）不能确定 【答】C．

?， 解：如图，连接DE，设S?DEF?S1则

第（5）题 S1?EFS4??，从而有S1?S3?S2S4．因为S1?S1?，所以S1S3?S2S4． S2BFS3二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

（6）两条直角边长分别是整数a，b（其中b?2011），斜边长是b?1的直角三角形的个数为 .

【答】31．

初中数学竞赛复赛试题答案第2页（共8页）

b?2011，解：由勾股定理,得 a2?(b?1)2?b2?2b?1．因为b是整数，所以a2是1到4023之间的奇数，而且是完全平方数，这样的数共有31个，即32，因 52， ， 632．此a一定是3，5，…，63，故满足条件的直角三角形的个数为31．

（7）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数之和为7的概率是 .

【答】

1． 6解： 在36对可能出现的结果中，有6对：（1，6）， （2，5）， （2，5）， （3，4），（3，4），（4，3）的和为7，所以朝上的面两数字之和为7的概率是

61?. 366（8）若y?1?x?【答】

122最小值为b，则a?b的值为 . x?的最大值为a，

23． 211≥0，得≤x≤1．

22解：由1?x≥0，且x?y2?由于

131131?2?x2?x???2?(x?)2?． 2222416133<<1，所以当x=时，y2取到最大值1，故a=1． 2441123222或1时，y取到最小值，故b=．所以，a?b?． 22222（x＞0）与矩形OABC的边CB， BA分别交于点E，F，x当x=（9）如图，双曲线y?且AF=BF，连接EF，则△OEF的面积为 .

【答】

3． 2b2（a，）（a,b）解：如图，设点B的坐标为,则点F的坐标为.因为点F在双曲线

初中数学竞赛复赛试题答案第3页（共8页）