内容发布更新时间 : 2024/11/20 8:27:51星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
10．如图1，抛物线
与 轴交于点 ，顶点为点 ．
与 轴交于
、
两点，
（1）求这条抛物线的解析式及直线 的解析式； （2） 段 围； （3）在线段
上是否存在点 ，使
为等腰三角形？若存在，请直接写出点 的坐
标；若不存在，请说明理由． 【答案】 （1）解：∵抛物线 两点， ∴ 解得：
，
， ，
，
，
与 轴交于
、
上一动点（点 不与点 、 重合），过点 向 轴引垂线，垂足为 ，设
的面积为 ．求 与 之间的函数关系式及自变量 的取值范
的长为 ，四边形
∴二次函数的解析式为 ∵ ∴ 则有
，
解得：
，
， ，
设直线 的解析式为
∴直线 的解析式为
（2）解：∵ ∴点 的坐标为 ∴
轴，
，
，
，
∵ 为线段 上一动点（点 不与点 、 重合）， ∴ 的取值范围是
．
（3）解：线段 角形；
，
①当 解得 此时 ②当 解得 此时 ③当 解得 （1） 的取值范围是
时， ，此时
． ， ；（3）
或
；（2）
或
，
时， ， ， 时，
，
，
（舍去），
，
（舍去），
， ，
，
上存在点
，
，
使
为等腰三
【解析】【分析】（1）将A、B俩点代入抛物线解析式即可求出M的坐标，再设直线
的解析式为
可得点 的坐标为
， 代入M的值计算即可.（2）由已知
，再根据
轴， ，
即可求得t的值.
（3）存在，根据等腰三角形的性质，分情况进行解答即可.
11．如图，第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：y＝kx+3.
（1）设点P的纵坐标为p，写出p随k变化的函数关系式.
（2）设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP.请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明；
（3）是否存在使△AMN的面积等于 的k值？若存在，请求出符合的k值；若不存在，请说明理由.
【答案】 （1）解：∵y轴和直线l都是⊙C的切线，∴OA⊥AD，BD⊥AD；又∵OA⊥OB， ∴∠AOB＝∠OAD＝∠ADB＝90°，∴四边形OADB是矩形；∵⊙C的半径为2，∴AD＝OB＝4；
∵点P在直线l上，∴点P的坐标为（4，p）；又∵点P也在直线AP上，∴p＝4k+3
（2）解：连接DN.∵AD是⊙C的直径，∴∠AND＝90°，
∵∠ADN＝90°﹣∠DAN，∠ABD＝90°﹣∠DAN，∴∠ADN＝∠ABD，又∵∠ADN＝∠AMN， ∴∠ABD＝∠AMN，∵∠MAN＝∠BAP，∴△AMN∽△ABP
（3）解：存在.理由：把x＝0代入y＝kx+3得：y＝3，即OA＝BD＝3，AB＝
，
∵S△ABD＝ AB?DN＝ AD?DB∴DN＝
，
＝
，∴AN2＝AD2﹣DN2＝
∵△AMN∽△ABP，∴ （k2+1），
，即
当点P在B点上方时，∵AP2＝AD2+PD2＝AD2+（PB﹣BD）2＝42+（4k+3﹣3）2＝16或AP2＝AD2+PD2＝AD2+（BD﹣PB）2＝42+（3﹣4k﹣3）2＝16（k2+1）， S△ABP＝ PB?AD＝ （4k+3）×4＝2（4k+3）， ∴
整理得：k2﹣4k﹣2＝0，解得k1＝2+ 当点P在B点下方时，
∵AP2＝AD2+PD2＝42+（3﹣4k﹣3）2＝16（k2+1），S△ABP＝ PB?AD＝ [﹣（4k+3）]×4＝﹣2（4k+3）
，k2＝2﹣
，
∴
化简得：k2+1＝﹣（4k+3），解得：k＝﹣2， 综合以上所得，当k＝2±
或k＝﹣2时，△AMN的面积等于
【解析】【分析】（1）由切线的性质知∠AOB＝∠OAD＝∠ADB＝90°，所以可以判定四边形OADB是矩形；根据⊙O的半径是2求得直径AD＝4，从而求得点P的坐标，将其代入直线方程y＝kx＋3即可知p变化的函数关系式；（2）连接DN.∵直径所对的圆周角是直角，∴∠AND＝90°，根据图示易证∠AND＝∠ABD；然后根据同弧所对的圆周角相等推知∠ADN＝∠AMN，再由等量代换可知∠ABD＝∠AMN；最后利用相似三角形的判定定理AA证明△AMN∽△ABP；（3）存在.把x＝0代入y＝kx＋3得y＝3，即OA＝BD＝3，然后由勾股定理求得AB＝5；又由相似三角形的相似比推知相似三角形的面积比.分两种情况进行讨论：①当点P在B点上方时，由相似三角形的面积比得到k2?4k?2＝0，解关于k的一元二次方程；②当点P在B点下方时，由相似三角形的面积比得到k2＋1＝?（4k＋3），解关于k的一元二次方程.
12．如图，已知一次函数y=﹣ x+4的图象是直线l，设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B.
（1）求线段AB的长度；
（2）设点M在射线AB上，将点M绕点A按逆时针方向旋转90°到点N，以点N为圆心，NA的长为半径作⊙N.
①当⊙N与x轴相切时，求点M的坐标；
②在①的条件下，设直线AN与x轴交于点C，与⊙N的另一个交点为D，连接MD交x轴于点E，直线m过点N分别与y轴、直线l交于点P、Q，当△APQ与△CDE相似时，求点P的坐标.
【答案】 （1）解：当x=0时，y=4， ∴A（0，4）， ∴OA=4，
当y=0时，- x+4=0， x=3， ∴B（3，0）， ∴OB=3，
由勾股定理得：AB=5
（2）解：①如图1，过N作NH⊥y轴于H，过M作ME⊥y轴于E，
tan∠OAB=
，
∴设EM=3x，AE=4x，则AM=5x，