内容发布更新时间 : 2024/5/4 22:46:45星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第十章 多元函数微分学

一、本章学习要求与内容提要

（一）学习要求

1.理解多元函数的概念,知道多元函数的极限的概念,理解多元函数偏导数的概念.

2.了解全微分的概念，知道全微分存在的必要条件和充分条件. 3.会求多元初等函数的一阶偏导数和二元函数的二阶偏导数. 4.掌握复合函数求导法则,会求复合函数和隐函数的一阶偏导数. 5.会求曲线的切线和法平面方程及曲面的切平面和法线方程. 6.了解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值. 7.了解多元函数条件极值的概念,会用拉格朗日乘数法求条件极值. 8.会解一些简单的多元函数的最大值与最小值应用题.

重点 二元函数的概念，偏导数的概念与计算，全微分的概念，多元复合函数的求导公式与计算，隐函数的求导方法，曲线切线的方向向量,曲面的切平面和法向量,曲线的切线和法平面方程及曲面的切平面和法线方程，多元函数极值的必要条件和充分条件，条件极值的概念与拉格朗日乘数法.

难点 二元函数的极限与连续、偏导数存在与全微分之间关系，多元复合函数的求导公式与计算，多元函数极值的充分条件，条件极值的概念与拉格朗日乘数法.

（二）内容提要 1.多元函数

⑴二元函数 设D是平面上的一个非空点集，如果有一个对应规律f，使每一个点

(x,y)?D都对应于惟一确定的值z，则称z为D上的二元函数.记做z?f(x,y)，其中

x与y称为自变量，函数z也称为因变量，D称为该函数的定义域.

⑵点函数 设?是一个点集,对任意的点P??,变量u按某一法则总有惟一确定的值与之对应,则称u是?上的点函数,记作u?f(P).

当?是x轴上的点集时,点函数u?f(P)是一元函数;当?是xOy平面上的点集时,点函数u?f(P)是二元函数; 当?是n维空间上的点集时,点函数u?f(P)是n元函数; 当

?是三维空间上的点集时,点函数u?f(P)是三元函数.

自变量多于一个的函数统称为多元函数.

⑶二元函数的几何意义 函数z?f(x,y)的几何图形一般在空间直角坐标系中表示一张曲面，而其定义域D就是此曲面在xOy坐标面上的投影.

2. 二元函数的极限与连续 ⑴二元函数的极限

设函数z?f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个邻域内有定义（在点P0(x0,y0)处可以无定

义），如果当点P(x,y)以任意方式趋向于点P0(x0,y0)时，相应的函数值f(x,y)无限接近于一个确定的常数A，则称当(x,y)? (x0,y0)时，函数f(x,y)以A为极限，记作

limf(x,y)?A 或

x?x0y?y0f(x,y)?A (x?x0,y?y0).

⑵二元函数的连续性

① 在一点连续的两个等价的定义

定义1 设有二元函数z?f(x,y),如果limf(x,y)=f(x0,y0),则称二元函数

x?x0y?y0z?f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续.

定义2 设?z?f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)(称?z为函数f(x,y)的全增量),若

?x?0?y?0lim?z?0,则称二元函数z?f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续.

②如果f(x,y)在区域D内的每一点都连续，则称f(x,y)在区域D上连续. ③如果f(x,y)在点P0(x0,y0)不连续，则称点P0(x0,y0)是二元函数z?f(x,y)的不连续点或间断点. 3.偏导数的定义

⑴在一点的偏导数 设函数z?f(x,y)在点(x0,y0)的某个领域内有定义，固定自变量y?y0，而自变量x在x0处有改变量?x，如果极限 lim?x?0f(x0??x,y)?f(x0,y0)存

?x在，则称此极限值为函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处关于x的偏导数，记作

? z? f, ? xx?x0? xy?y0x?x0y?y0, zx(x0,y0) 或 fx(x0,y0);

类似地，函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处关于y的偏导数定义为

?y?0lim? f? yf(x0,y0??y)?f(x0,y0),

?y, zy(x0,y0) 或 fy(x0,y0).

记作

? z? yx?x0y?y0, x?x0y?y0⑵偏导函数 如果函数z?f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处，对x的偏导数fx(x,y)都存在,则对于区域D内每一点(x,y)，都有一个偏导数的值与之对应，这样就得到了一个新的二元函数，称为函数z?f(x,y)关于变量x的偏导函数，记作

? z? f ， , zx, fx 或 fx(x,y). ? x? x类似地，函数z?f(x,y)关于自变量y的偏导函数，记作

? z? f, , zy, fy或 fy(x,y). ? y? y由偏导数的概念可知，函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处关于x的偏导数fx(x0,y0)就是偏导函数fx(x,y)在点(x0,y0)的函数值，而fy(x0,y0)就是偏导函数fy(x,y)在点(x0,y0)处的函数值.以后,在不至于混淆的地方把偏导函数简称为偏导数.

4.偏导数的求法

从偏导数的定义可以看出，求z?f(x,y)的偏导数并不需要用新方法，因为这里只有一个自变量在变动，另一个自变量被看作是固定的，所以仍旧可用一元函数的微分法.求

? f? f时，只要把y暂时看作常量而对x求导数；求时，只要把x暂时看作常量而对y求? x? y导数.

5.高阶偏导数

⑴函数z?f(x,y)的偏导数的偏导数称为二阶偏导数. z?f(x,y)的四个二阶偏导数如下:

???z??2z???z??2z?fxx(x,y)?zxx , ????fxy(x,y)?zxy, ????x??x??x2?y??x??x?y???z??2z???z??2z?????y?x?fyx(x,y)?zyx , ?y???y????y2?fyy(x,y)?zyy. ?x??y????二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. ⑵混合偏导数与次序无关的定理

如果函数z?f(x,y)的两个混合偏导数在点(x,y)连续，则在点(x,y)处，有

?2z?2z. ??x?y?y?x6.复合函数求偏导数的公式 ⑴复合函数求导法则

设函数u??(x,y),???(x,y)在点(x,y)处有偏导数，函数z?f(u,?)在相应点(u,?)