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2009学年第二学期徐汇区高三年级数学学科（文科试卷）（120分钟，满分150分） 2010.4

一．

填空题：(本题满分56分，每小题4分)

x?1x?21．函数y?的定义域是________________.

1222．设集合A?{x|??x?2},B?{xx?1}，则A?B?_______________.

343．已知△ABC中，cotA??，则cosA?_______________.

4． 若数列{an}满足：a1?1,an?1?2an(n?N?)，则前6项的和S6? .（用数

字作答）

5． (x?2)6的展开式中x3的系数为_____________. 6．若球O1、O2表示面积之比

S1S2?9，则它们的半径之比

R1R2=_____________.

7．函数f(x)?42x?4(x?4)的反函数为________________.

2k4?28．三阶行列式?35?11第2行第1列元素的代数余子式为?10，则k?____________．

?x?y?2?0,?9．若实数x,y满足?x?4,则s?x?y的最大值为 .

?y?5,?10．椭圆

x29?y22?1的焦点为F1,F2，点P在椭圆上，若|PF1|?4，则?F1PF2的大小为

_______________.

11．一个几何体的三个视图都是等腰直角三角形（如图），且直角边长为1，

则此几何体的体积为 .

12．有5只苹果，它们的质量分别为125 a 121 b 127（单位：克）：若该样本的

中位数和平均值均为124， 则该样本的标准差s=_____________.（克）（用数字作答） 13．某学生参加一次世博志愿者测试，已知在备选的6道试题中，预计该学生能答对4题，但有2题会答错。规定每位考生都从备选题中随机抽出3道题进行测试，答对2题或3题则通过测试，则该学生通过测试的概率是______________.（用数值表示） 14．设?x?表示不超过x的最大整数，如?1.5??1,??1.5???2. 若集合A?xx??x??1?0,B??x2????1?x?2?4?，则A?B=_________. 2?

二．选择题：（本题满分16分，每小题4分）

15． 复数

3?i1?i等于---------------------------------------------------------------------------------（ ）

A．1?2i B.1?2i C.2?i D.2?i 16．下列函数中，与函数y?1x1x 有相同定义域的是--------------------------------------（ ）

A .f(x)?log2x B.f(x)? C. f(x)?|x| D.f(x)?2x

B

????????????17．设P是△ABC所在平面内的一点，BC?BA?2BP，则------------------------（ ） ????????????????????????????????????????A.PA?PB?0 B. PB?PC?0 C. PC?PA?0 D.PA?PB?PC?0

A C P

第17题图

18． 已知AC,BD为圆O:x2?y2?4的两条互相垂直的弦，AC,BD交于点M1,2，且AC?BD，则四边形ABCD的面积等于----------------------------------------------（ ） A 4 B 5 C 6 D 7

??三． 解答题：（本大题共5题，满分78分）

19．（本题满分14分）在?ABC中，a、b、c是?A、?B、?C的对边，已知

?B?45,?C?60, a?200?3?1，求?ABC的面积S?ABC.

?

20．（本题满分14分）求满足

21．（本题满分16分，第一小题8分；第二小题8分）

???已知i,j是x,y轴正方向的单位向量，设a=(x????足b?i?a.

z?1z?1?1且z?2z?R的复数z.

???3)i?yj, b=(x???3)i?yj,且满

(1) 求点P?x,y?的轨迹方程； (2) 过点

?3,0的直线l交上述轨迹于A,B两点,且AB?83,求直线l的方程.

? 22．（本题满分16分；第（1）小题5分，第（2）小题5分，第三小题6分） 已知函数 f(x)?x?aax(a?0)

（1）判断并证明y?f(x)在x?(0,??)上的单调性；

（2）若存在x0，使f?x0??x0，则称x0为函数f?x?的不动点，现已知该函数有且仅有一个不动点，求a的值；

（3）若f(x)?2x在x?(0,??)上恒成立 , 求a的取值范围．

23．（本题满分18分；第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题8分） 设数列?an??n?1,2,??是等差数列，且公差为d，若数列?an?中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”. （1）若a1?4,d?2，求证：该数列是“封闭数列”；

（2）试判断数列an?2n?7?n?N??是否是“封闭数列”，为什么？

（3）设Sn是数列?an?的前n项和，若公差d?1,a1?0，试问：是否存在这样的“封闭数?111?11????列”，使lim?；若存在，求?an?的通项公式，若不存在，说明理由. ??n??SSS92n??1

2009学年第二学期徐汇区高三年级数学学科

学 习 能 力 诊 断 卷 文科试卷参考答案及评分标准（2010.4）

一． 填空题：

1．???,?2??[1,??) 2．{x?1?x?2} 3．?5．160 6．3 7．f??1352 4. 63

(x)?12x?2(x?2) 8． ?14 169．9 10．120 11．13．

45 12．5

14．

?2?

二．选择题： 15．D 16．A 17．C 18．B

三．解答题：

19．解：A?180??B?C??75，--------------------------------------------------------------2分

00

sinA?sin75?sin?45?30000??6?42----------------------------------------------------6分

由正弦定理

asinA?bsinB2??3?12?6?4?b22?b?4，-----------------------------------10分

∴S?ABC?12absinC?12?2?3?1?4??32?6?23。----------------------------14分

20．解：设z?a?bi(a,b?R)，-------------------------------------------------------------------2分

z?1z?1由

?1?z?1?z?1，

即?a?1??bi??a?1??bi

??a?1??b??a?1??b，得a?0，-------------------------------------8分

2222?z?bi，又由bi?b?2b2bi?R得

?0?b??2?z??2i------------------------------------------- 14分

?2??3)i?yi?j?x?22??21．解：(1)?b?i?(x?3，------------------------------2分

∴x?3?(x?3)?y，--------------------------------------------5分

化简得y2?43x，-----------------------------------------------------8分 (2)设l:x?ty?分

设A?x1,y1?、B(x2,y2)由AB?83得 1?1t2??x?ty?32?y?43ty?3,由?2y?43x???3?y?43ty?12?0--10

?2y1?y2?1?1t2??y1?y2??4y1y2?21?1t2??43t?2?48?83----12

分 1?1t2?t?1?2?t?1?t??1，----------------------------------------------------------14分

22所以直线l的方程为x?y?分

22．解：（1）f(x)?1a?1x3?0或x?y?3?0.-------------------------------------------16

对任意的x1,x2?(0,??)且x1?x2------------------------------------------- 1分

f(x1)?f(x2)?(1a?1x1)?(1a?1x2)?x1?x2x1x2-------------------------------- 3分

∵x1?x2?0 ∴x1?x2?0,x1x2?0

∴f(x1)?f(x2)?0，函数y?f(x)在x?(0,??)上单调递增。----------------5分 （2）解：令x?x?aax?ax?x?a?0，------------------------------------7分 122令??1?4a2?0?a?将a?12（负值舍去）--------------------------------------9分

12x?x?2代入ax2?x?a?0得

1a12?0?x?2x?1?0?x0?1--------10分

2（3）∵f(x)?2x ∴?2x?1x1x ----------------------------------------12分

22∵x?0 ∴2x??22（等号成立当x?）--------------------14分

∴

?2?的取值范围是a?(2x?)min?22?a?,???-------- 16分 ????ax4?4?11223． （1）证明：an?4??n?1??2?2n?2，-------------------------------------------------1分 对任意的m,n?N?，有

am?an??2m?2???2n?2??2?m?n?1??2，---------------------------------------------3分

?m?n?1?N于是，令p?m?n?1，则有ap?2p?2??an?-------------------------5分

?（2）?a1??5,a2??3,?a1?a2??8，---------------------------------------------------------7分 令an?a1?a2??8?2n?7??8?n??12?N，-----------------------------------------9分

?所以数列an?2n?7?n?N??不是封闭数列；---------------------------------------------------10分 （3）解：由?an?是“封闭数列”，得：对任意m,n?N，必存在p?N使

??a1??n?1??a1??m?1??a1??p?1?成立，----------------------------------------------------11分

于是有a1?p?m?n?1为整数，又?a1?0?a1是正整数。-------------------------------13分

若a1?1则Sn?n(n?1)2?111?11，所以lim?，-----------------------14分 ?????2??n??SSS92n??1?111?11，所以lim?，------------------------16分 ??????n??Sn?9?S1S2?n?n?3?2若a1?2，则Sn?n(n?3)2若a1?3，则Sn?1Sn2n(2a1?n?1)2，于是

??111?11????，所以lim?，------------------------------------------17分 ??n??Sn?9n(n?3)?S1S2综上所述，a1?2,?an?n?1?n?N??，显然，该数列是“封闭数列”。---------------- 18分