内容发布更新时间 : 2024/7/6 5:53:51星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型

定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k和m的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：

模型一：“手电筒”模型

x2y2??1若直线l：y?kx?m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右例题、已知椭圆C：43顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标。

?y?kx?m解：设A(x1,y1),B(x2,y2)，由?2得(3?4k2)x2?8mkx?4(m2?3)?0， 2?3x?4y?12??64m2k2?16(3?4k2)(m2?3)?0，3?4k2?m2?0

8mk4(m2?3)x1?x2??,x1?x2?

3?4k23?4k23(m2?4k2)y1?y2?(kx1?m)?(kx2?m)?kx1x2?mk(x1?x2)?m? 23?4k以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),且kAD?kBD??1， yy?1?2??1，y1y2?x1x2?2(x1?x2)?4?0， x1?2x2?2223(m2?4k2)4(m2?3)16mk???4?0，

3?4k23?4k23?4k222整理得：7m?16mk?4k?0，解得：m1??2k,m2??2k22，且满足3?4k?m?0 7当m??2k时，l:y?k(x?2)，直线过定点(2,0),与已知矛盾；

2k22时，l:y?k(x?)，直线过定点(,0) 7772综上可知，直线l过定点，定点坐标为(,0).

7当m??◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P做相互垂直的直

x0(a2?b2)y0(a2?b2),)。线交圆锥曲线于AB，则AB必过定点(（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦2222a?ba?b对定点张直角的一组性质”）

◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP与BP条件（如kAP?kBP?定值，kAP?kBP?定值），直线AB依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。

此模型解题步骤：

Step1：设AB直线y?kx?m，联立曲线方程得根与系数关系，?求出参数范围；

Step2：由AP与BP关系（如kAP?kBP??1），得一次函数k?f(m)或者m?f(k)； Step3：将k?f(m)或者m?f(k)代入y?kx?m，得y?k(x?x定)?y定。

◆类型题训练

练习1：过抛物线M:y2?2px上一点P（1,2）作倾斜角互补的直线PA与PB，交M于A、B两点，求证：直线AB过定点。（注：本题结论也适用于抛物线与双曲线）

练习2：过抛物线M:y2?4x的顶点任意作两条互相垂直的弦OA、OB，求证：直线AB过定点。

22练习3：过2x?y?1上的点作动弦AB、AC且kAB?kAC?3，证明BC恒过定点。

练习:4：设A、B是轨迹C：y2?2px(P?0)上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为?和?，当?,?变化且?????4时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标。

练习5：已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8. (Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程;

(Ⅱ)已知点B(-1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是?PBQ的角平分线, 证明直线l过定点.

练习6：已知点B??1,0?,C?1,0?,P是平面上一动点，且满足|PC|?|BC|?PB?CB

（1）求点P的轨迹C对应的方程；

（2）已知点A(m,2)在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且AD?AE，判断：直线DE是否过定点？试证明你的结论.

【解】（1）设P(x,y)代入|PC|?|BC|?PB?CB得(x?1)2?y2?1?x,化简得y2?4x. （5分）

(2)将A(m,2)代入y2?4x得m?1,?点A的坐标为(1,2).

设直线DE的方程为x?my?t代入y2?4x,得y2?4mt?4t?0,