内容发布更新时间 : 2024/6/14 12:28:07星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

正交矩阵的作用

引言

正交矩阵是一类重要的实方阵，由于它的一些特殊的性质，使得它在不同的领域都有着广泛的作用,也推动了其它学科的发展.本文从正交矩阵的最主要的性质入手，来讨论它的四点作用.

首先，我们来了解一下正交矩阵的定义. 一.正交矩阵的定义及性质 (一)正交矩阵的定义

定义1 n阶实矩阵A，若满足A?A?E，则称A为正交矩阵.

定义2 n阶实矩阵A，若满足AA??E，则称A为正交矩阵.

定义3 n阶实矩阵A，若满足A??阵.

定义4 n阶实矩阵A的n个行（列）向量是两两正交 的单位向量，则称A为正交矩阵. 以上四个定义是等价定义. (二)正交矩阵的性质

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A?1，则称A为正交矩

设A为正交矩阵，它有如下的主要性质. <1>∣A∣=±1，A-1存在，并且A-1也为正交矩阵； <2>A′，A*也是正交矩阵；

当∣A∣=1时，A??A*，即aij?Aij； .

当∣A∣=-1时,A???A*,即aij??Aij<3>若B也是正交矩阵，则AB,A?B,AB?,A?1B,AB?1都为正交 矩阵.

证明 <1>显然

?1A??1

?1(A)???A???(A)?1?1 所以A?1也是正交矩阵.

<2>A??A?1，显然A?为正交矩阵.

A??1，A??A?1由 当 当

?A*A

A?1时，A??A*，即aij?AijA??1时，A???A*，即aij??Aij所以A*为正交矩阵. <3>由A??A?1 ，B??B?1 可知

?1(AB)??B?A??BA?1?(AB)?1

故AB为正交矩阵.由<1>,<2>推知A?B,AB?,A?1B,AB?1均为正交矩阵.

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正交矩阵的性质主要有以上几点，还有例如它的特征值的模为1，且属于不同特征值的特征向量相互正交；如果?是它的特征值，那么也是它的特征值等，这些性质这里就不再证

?1明了.

运用这些性质，我们来讨论一下它在以下四方面的一些作用.

二.正交矩阵的作用

（一）正交矩阵在线性代数中的作用

在正交矩阵中，有一类初等旋转矩阵，我们也称它为Givens矩阵.这里，我们将利用正交矩阵可以表示成若干初等旋转矩阵的乘积，给出化欧氏空间的一组基为标准正交基的另一种方法.

设向量

c?wisW?(w1,w2,?,wn)? ，令

s?wi?wj(j?i)22，

,d?wjs，则称n阶矩阵

?????i行????j行??1???1????Tij????????c???d??i列?c??j列??d?

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