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高等数学教案 §4不定积分

第四章 不定积分

?原函数?????定义????几何意义不定积分??知识结构图： ? ?性质???基本公式??直接积分法????第一换元积分法?求不定积分???第二换元积分法???分部积分法?

教学目的要求：

1．理解原函数与不定积分的概念，理解两者的关系，理解不定积分与导数的关系；掌握不定积分的几何意义与基本性质。

2．理解与掌握积分的基本公式，掌握不定积分的基本运算，会熟练地用直接积分法、第一类换元积分法、第二换元积分法（代数换元）、分部积分法求不定积分。 3．了解不定积分在经济问题中的应用。

教学重点：

1．原函数与不定积分的概念

2．不定积分的性质与基本积分公式 3．直接积分法 4．换元积分法 5．分部积分法 教学难点：

1．不定积分的几何意义

2．凑微分法、分部积分法求不定积分

第一节 不定积分的概念与基本公式

【教学内容】原函数与不定积分的概念、不定积分的几何意义、不定积分的基本性质、不定积分的基本公式。直接积分法求函数的不定积分。

【教学目的】理解原函数与不定积分的概念，理解不定积分的几何意义；理解并掌握不定积分的基本性质；熟练掌握用直接积分法计算一些简单函数的不定积分。

【教学重点】1．原函的概念；2.不定积分的概念；3.不定积分的几何意义；4.不定积分的基本性质；5.不定积分的基本公式；6.直接积分法计算不定积分。 【教学难点】1．理解不定积分的几何意义；2．记忆不定积分公式。 【教学时数】2学时 【教学进程】

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高等数学教案 §4不定积分

一、原函数与不定积分的概念

(一)原函数的概念

前面我们所学的知识是：已知一个函数，求这个函数的导数；在现实生活中往往有：已知一个函数的导数，求原来这个函数的问题，

如：①已知曲线上任意一点p(x,y)处的切线斜率为k?2x,求此曲线的方程。

②已知某产品的边际成本MC，要求该产品总成本的变化规律C?C(q)． １．原函数定义

定义4．1 设f(x)是定义在区间I内的已知函数．如果存在可导函数F(x)，使对于任意的x?I，都有

F?(x)?f(x)或dF(x)?f(x)dx

则称函数F(x)是函数f(x)的一个原函数。 例1 指出下列函数的原函数:

2x①f(x)?cosx ②f(x)?3x ③f(x)?a ④f(x)?1 x教师将举例分析：如(?cosx)??sinx，则?cosx是sinx在R上的一个原函数。

(x2)??2x，则 x2是2x的一个原函数。

教师再问：（1）是否所有的函数都有原函数？什么样的函数才有原函数存在呢？在此，

我们不作讨论．我们只给出一个重要的结论．

结论：如果函数f(x)在某区间上连续，则其原函数一定存在 （2）x?5是不是x在R上的一个原函数呢？学生回答：是

（3）提出一个函数若存在原函数，则有几个呢？引入 2.原函数个数

定理4．1 如果函数F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)?C也是f(x)的原函数，且f(x)的所有原函数都具有F(x)?C的形式（C为任意常数）． (二)不定积分的概念

教师指出：在以上的分析中我们看到一个函数f(x)有原函数存在，则有无数多个，它们都可以表示为F(x)?C的形式，我们把它叫做f(x)的不定积分。

１．不定积分定义

定义4．2 如果函数F(x)是f(x)的一个原函数，则称f(x)的全体原函数F(x)?C（C为任意常数）为f(x)的不定积分，记作

22?f(x)dx?F(x)?C

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高等数学教案 §4不定积分

其中

?称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为积分表达式，x称为积分变量，

C称为积分常数．

例2 求下列函数的不定积分:

①f(x)?2x ②f(x)?ex ③f(x)?1 x2．不定积分几何意义

提问：不定积分是否像导数那样具有某种几何意义呢？

观察图4-1，根据不定积分的定义，具有这样的性质：

结论：F(x)?C表示的是一族曲线，其中任意一条曲线都可

以由曲线y?F(x)沿y轴上、下平移得到．这积分曲

线上横坐标相同的点处所作曲线的切线都是互相平行的（如图4-1所示）。

例3 已知某曲线上一点（－1，2），且过曲线上任意一点的 切线斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线的方程

课堂练习(一)：

求下列函数的一个原函数与不定积分:

①f(x)?4x3 ②f(x)?csc2x ③f(x)?2x

3．不定积分的性质

提问：若对于任意的x?I,f?(x)?g(x)，那么性质1（积分运算与微分运算互为逆运算）

[f(x)dx]??f(x) 或 d[f(x)dx]?f(x)dx

?f?(x)dx??，[?f(x)dx]???

???f?(x)dx?f(x)?C 或 ?df(x)?f(x)?C

性质2 （不定积分的运算法则）

两个函数代数和的不定积分，等于这两个函数不定积分的代数和，即

??f(x)?g(x)?dx??f(x)dx??g(x)dx

推广：有限个函数的代数和的积分等于各个函数积分的代数和，即

??f(x)?f12(x)?????fn(x)?dx??f1(x)dx??f2(x)dx??????fn(x)dx

性质3 （不定积分的运算法则）

被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即

?kf(x)dx?k?f(x)dx (k?0)

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