内容发布更新时间 : 2024/10/18 23:25:58星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

王甲AB李乙

②如果第二次相遇为同向追及，如上图，两人第一次在A处相遇，相遇后小王继续向前走，小李走到甲地后返回，在B处追上小王．在这个过程中，小王走了6?3?3千米，小李走了6?3?9千米，两人的速度比为3:9?1:3．所以第一次相遇时小李也走了9千米，甲、乙两地的距离为9?3?12千米．

所以甲、乙两地的距离为7.5千米或12千米．

【巩固】 （难度级别 ※※※）A，B两地相距540千米。甲、乙两车往返行驶于A，B两地之间，都是到

达一地之后立即返回，乙车较甲车快。设两辆车同时从A地出发后第一次和第二次相遇都在途中P地。那么到两车第三次相遇为止，乙车共走了多少千米？

【解析】 第一次相遇，甲乙总共走了2个全程，第二次相遇，甲乙总共走了4个全程，乙比甲快，相遇又

在P点，所以可以根据总结和画图推出：从第一次相遇到第二次相遇，乙从第一个P点到第二个P点，路程正好是第一次的路程。所以假设一个全程为3份，第一次相遇甲走了2份乙走了4份。第二次相遇，乙正好走了1份到B地，又返回走了1份。这样根据总结：2个全程里乙走了（540÷3）×4=180×4=720千米，乙总共走了720×3=2160千米。

【例 8】 （难度级别 ※※※）小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一

村后就马上返回），他们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在离乙村2千米处第二次相遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎面相遇）？

【解析】 画示意图如下.

第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的3倍，因此张走了 3.5×3＝10.5（千米）.

从图上可看出，第二次相遇处离乙村2千米.因此，甲、乙两村距离是 10.5-2＝8.5（千米）.

每次要再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离2倍的路程.第四次相遇时，两人已共同走了两村距离（3＋2＋2）倍的行程.其中张走了 3.5×7＝24.5（千米），

24.5=8.5＋8.5＋7.5（千米）. 就知道第四次相遇处，离乙村 8.5-7.5=1（千米）.

答：第四次相遇地点离乙村1千米.

四、解多次相遇问题的工具——柳卡

柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。

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如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。

【例 9】 （难度级别 ※※※）每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽

约开往哈佛．轮船在途中均要航行七天七夜．试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途中）能遇上几艘从纽约开来的轮船？

【解析】 这就是著名的柳卡问题．下面介绍的法国数学家柳卡·斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解法．

他先画了如下一幅图：

这是一张运行图．在平面上画两条平行线，以一条直线表示哈佛，另一条直线表示纽约．那么，从哈佛或纽约开出的轮船，就可用图中的两组平行线簇来表示．图中的每条线段分别表示每条船的运行情况．粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行，它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况．

从图中可以看出，某天中午从哈佛开出的一条轮船（图中用实线表示）会与从纽约开出的15艘轮船相遇（图中用虚线表示）．而且在这相遇的15艘船中，有1艘是在出发时遇到（从纽约刚到达哈佛），1艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约开出），剩下13艘则在海上相遇；另外，还可从图中看到，轮船相遇的时间是每天中午和子夜．

如果不仔细思考，可能认为仅遇到7艘轮船．这个错误，主要是只考虑以后开出的轮船而忽略了已在海上的轮船．

【巩固】 （难度级别 ※※※）一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电

车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟．有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站．他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站．在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车．到达甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出．问他从乙站到甲站用了多少分钟？

【解析】 先让学生用分析间隔的方式来解答：

骑车人一共看到12辆车，他出发时看到的是15分钟前发的车，此时第4辆车正从甲发出．骑车中，甲站发出第4到第12辆车，共9辆，有8个5分钟的间隔，时间是5?8?40（分钟）． 再引导学生用柳卡的运行图的方式来分析：

第一步：在平面上画两条平行线分别表示甲站与乙站．由于每隔5分钟有一辆电车从甲站出发，

所以把表示甲站与乙站的直线等距离划分，每一小段表示5分钟．

第二步：因为电车走完全程要15分钟，所以连接图中的1号点与P点（注意：这两点在水平方

向上正好有3个间隔，这表示从甲站到乙站的电车走完全程要15分钟），然后再分别过等分点作一簇与它平行的平行线表示从甲站开往乙站的电车．

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第三步：从图中可以看出，要想使乙站出发的骑车人在途中遇到十辆迎面开来的电车，那么从P点引出的粗线必须和10条平行线相交，这正好是图中从2号点至12号点引出的平行线．

从图中可以看出，骑车人正好经历了从P点到Q点这段时间，因此自行车从乙站到甲站用了

． 5?8?40（分钟）

对比前一种解法可以看出，采用运行图来分析要直观得多！

【例 10】 （难度级别 ※※※）甲、乙两人在一条长为30米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒1米，

乙的速度是每秒0.6米．如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇几次？

【解析】 采用运行图来解决本题相当精彩！

首先，甲跑一个全程需30?1?30（秒），乙跑一个全程需30?0.6?50（秒）．与上题类似，画运行图如下（实线表甲，虚线表示乙，那么实虚两线交点就是甲乙相遇的地点）：

一个周期内共有5次

相遇，其中第1，2，4，5次是迎面相遇，而第3次是追及相遇．

从图中可以看出，当甲跑5个全程时，乙刚好跑3个全程，各自到了不同两端又重新开始，这正好是一周期150秒．在这一周期内两人相遇了5次，所以两人跑10分钟，正好是四个周期，也就相遇了5?4?20（次）

【例 11】 （难度等级 ※※※） (2009年迎春杯复赛高年级组)A、B两地位于同一条河上，B地在A地下

游100千米处．甲船从A地、乙船从B地同时出发，相向而行，甲船到达B地、乙船到达A地后，都立即按原来路线返航．水速为2米/秒，且两船在静水中的速度相同．如果两船两次相遇的地点相距20千米，那么两船在静水中的速度是 米/秒．

【解析】 本题采用折线图来分析较为简便．

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ADENMBCF

如图，箭头表示水流方向，A?C?E表示甲船的路线，B?D?F表示乙船的路线，两个交点M、N就是两次相遇的地点．

由于两船在静水中的速度相同，所以两船的顺水速度和逆水速度都分别相同，那么两船顺水行船和逆水行船所用的时间都分别相同，表现在图中，就是BC和DE的长度相同，AD和CF的长度相同．

那么根据对称性可以知道，M点距BC的距离与N点距DE的距离相等，也就是说两次相遇地点与A、B两地的距离是相等的．而这两次相遇的地点相距20千米，所以第一次相遇时，两船分别走了?100?20千米和100?40?60千米，可得两船的顺水速度和逆水速度之比为??2?40． 60:40?3:2而顺水速度与逆水速度的差为水速的2倍，即为4米/秒，可得顺水速度为4??3?2??3?12米/秒，那么两船在静水中的速度为12?2?10米/秒．

【例 12】 （难度等级 ※※※）A、 B 两地相距1000 米，甲从 A地、乙从 B 地同时出发，在 A、 B 两

地间往返锻炼．乙跑步每分钟行150米，甲步行每分钟行 60米．在 30分钟内，甲、乙两人第几次相遇时距 B 地最近(从后面追上也算作相遇)？最近距离是多少？

【解析】 甲、乙的运行图如上，图中实现表示甲，虚线表示乙，两条线的交点表示两人相遇．在 30 分钟

内，两人共行了 (150 60) 30 6300? ? ? 米，相当于 6 个全程又 300 米，由图可知，第 3次相遇时距离 A地最近，此时两人共走了 3 个全程，即1000 ×3 =3000千米，用时3000÷（150+60）=100/7分钟，甲行了60×100/7=6000/7米， 相遇地点距离 B 地1000-6000/7? 143米．

【巩固】 （难度等级 ※※※）A、 B 两地相距 950 米．甲、乙两人同时由 A地出发往返锻炼半小时．甲

步行，每分钟走 40 米；乙跑步，每分钟行 150 米．则甲、乙二人第几次迎面相遇时距 B 地最近？

【解析】 半小时内，两人一共行走 （40＋ 150）× 30 =5700 米，相当于 6 个全程，两人每合走 2 个全

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程就会有一次相遇，所以两人共有 3 次相遇，而两人的速度比为 40 :150= 4 :15，所以相同时

48?2?，距离 B 地11/19个15?419全程；第二次相遇甲走了16/19个全程，距离 B 地3/19个全程；第三次相遇甲走了24/19个全程，距离 B 地5/19个全程，所以甲、乙两人第二次迎面相遇时距离 B 地最近． 间内两人的行程比为 4 :15，那么第一次相遇甲走了全程的

【巩固】 (2008年国际小学数学竞赛)A、B两地相距950m，甲、乙两人同时从A地出发，往返A、B两

地跑步90分钟．甲跑步的速度是每分钟40m；乙跑步的速度是每分钟150m．在这段时间内他们面对面相遇了数次，请问在第几次相遇时他们离B点的距离最近？

【解析】 ．甲、乙两人合走一个全程需要5分钟，每合走2 个全程相遇一次，950?（150?40）?5（分钟）

所以总共相遇90?(5?2)?9次．而甲每10分钟走40?10?400（m）并且与乙相遇一次，因为

950?3?400?7?50（m）也就是当甲、乙两人第7次相遇时甲离B地50m为最小，在第7次相遇时他们离B点距离最近．

【巩固】 （难度等级 ※※※）A、 B 两地相距 2400 米，甲从 A地、乙从 B 地同时出发，在 A、 B 两

地间往返锻炼．甲每分钟跑 300 米，乙每分钟跑 240 米，在 30 分钟后停止运动．甲、乙两人第几次相遇时距 A地最近？最近距离是多少？

【解析】 第二次，800米

五、多次相遇问题——变道问题

【例 13】 （难度等级 ※※※※）(仁华入学试题)甲、乙两车同时从同一点A出发，沿周长6千米的圆形

跑道以相反的方向行驶．甲车每小时行驶65千米，乙车每小时行驶55千米．一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头；一旦甲车从后面追上乙车，则甲车立刻调头，那么两车出发后第11次相遇的地点距离A点有多少米？(每一次甲车追上乙车也看作一次相遇)

【解析】 第一次是一个相遇过程，相遇时间为：相遇地点距离A点：6?(65?55)?0.05小时，55?0.05?2.75千米．然后乙车调头，成为追及过程，追及时间为：6?(65?55)?0.6小时，乙车在此过程中走

的路程为：55?0.6?33千米，即5圈又3千米，那么这时距离A点3?2.75?0.25千米．

此时甲车调头，又成为相遇过程，同样方法可计算出相遇地点距离A点0.25?2.75?3千米，然后乙车掉头，成为追及过程，根据上面的计算，乙车又要走5圈又3千米，所以此时两车又重新回到了A点，并且行驶的方向与最开始相同．

所以，每4次相遇为一个周期，而11?4?23，所以第11次相遇的地点与第3次相遇的地点是相同的，与A点的距离是3000米．

【例 14】 （难度等级 ※※※※）下图是一个边长90米的正方形，甲、乙两人同时从A点出发，甲逆时

针每分行75米，乙顺时针每分行45米．两人第一次在CD边（不包括C，D两点）上相遇，是出发以后的第几次相遇？

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