内容发布更新时间 : 2024/12/25 13:28:14星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第十章 重积分
一元函数积分学中,我们曾经用和式的极限来定义一元函数f?x?在区间??a,b??上的定积分,并已经建立了定积分理论,本章将把这一方法推广到多元函数的情形,便得到重积分的概念. 本章主要讲述多重积分的概念、性质、计算方法以及应用.
第1节 二重积分的概念与性质
1.1 二重积分的概念
下面我们通过计算曲顶柱体的体积和平面薄片的质量,引出二重积分的定义.
1.1.1. 曲顶柱体的体积
曲顶柱体是指这样的立体,它的底是xOy平面上的一个有界闭区域D,其侧面是以D的边界为准线的母线平行于z轴的柱面,其顶部是在区域D上的连续函数z?f?x,y?,且f?x,y??0所表示的曲面(图10—1).
图10—1
现在讨论如何求曲顶柱体的体积.
分析这个问题,我们看到它与求曲边梯形的面积问题是类似的.可以用与定积分类似的方法(即分割、近似代替、求和、取极限的方法)来解决(图10—2).
图10—2
(1)分割闭区域D为n个小闭区域
??1,??2,,??n,
1
同时也用Δσi表示第i个小闭区域的面积,用d?Δσi?表示区域Δσi的直径(一个闭区域的直径是指闭区域上任意两点间距离的最大值),相应地此曲顶柱体被分为n个小曲顶柱体.
(2)在每个小闭区域上任取一点
?ξ1,η1?, ?ξ2,η2?, , ?ξn,ηn? 对第i个小曲顶柱体的体积,用高为f(ξi,ηi)而底为Δσi的平顶柱体的体积来近似代替.
(3)这n个平顶柱体的体积之和
?f(?,?)??iii?1ni
就是曲顶柱体体积的近似值.
(4)用λ表示n个小闭区域Δσi的直径的最大值,即λ?maxd?Δσi?.当λ?0 (可理解为Δσi1?i?n收缩为一点)时,上述和式的极限,就是曲顶柱体的体积:
V?lim?f(?i,?i)??i.
??0i?1n1.1.2 平面薄片的质量
设薄片在xOy平面占有平面闭区域D,它在点(x,y)处的面密度是ρ?ρ(x,y).设
?(x,y)?0且在D上连续,求薄片的质量(见图10-3).
图10-3
先分割闭区域D为n个小闭区域
??1,??2,,??n
在每个小闭区域上任取一点
?ξ1,η1?, ?ξ2,η2?, , ?ξn,ηn?
近似地,以点(ξi,ηi)处的面密度ρ(ξi,ηi)代替小闭区域Δσi上各点处的面密度,则得到第i块小薄片的质量的近似值为ρ(ξi,ηi)Δσi,于是整个薄片质量的近似值是
??(?,?)??iii?1ni
用λ?maxd?Δσi?表示n个小闭区域Δσi的直径的最大值,当D无限细分,即当λ?0时,
1?i?n上述和式的极限就是薄片的质量M,即
M?lim?ρ(ξi,ηi)Δσi.
λ?0i?1n以上两个具体问题的实际意义虽然不同,但所求量都归结为同一形式的和的极限.抽象出来就得到下述二重积分的定义.
定义1 设D是xOy平面上的有界闭区域,二元函数z?f(x,y)在D上有界.将D分为n个小区域
2
??1,??2,,??n
同时用Δσi表示该小区域的面积,记Δσi的直径为d?Δσi?,并令λ?maxd?Δσi?.
1?i?n在Δσi上任取一点(ξi,ηi), (i?1,2,,n),作乘积
f?ξi,ηi?Δσi
并作和式
Sn??f(ξi,ηi)Δσi.
i?1n若λ?0时,Sn的极限存在(它不依赖于D的分法及点(εi,ηi)的取法),则称这个极限值为函数z?f(x,y)在D上的二重积分,记作??f(x,y)d?,即
D?f(?,?)Δ???f(x,y)d??lim?D?0iii?1ni, (10-1-1)
其中D叫做积分区域,f(x,y)叫做被积函数,dσ叫做面积元素,f(x,y)dσ叫做被积表达式,x与y叫做积分变量,?f(ξi,ηi)Δσi叫做积分和.
i?1n在直角坐标系中,我们常用平行于x轴和y轴的直线(y=常数和x=常数)把区域D分割成
小矩形,它的边长是?x和Δy,从而Δσ?Δx?Δy,因此在直角坐标系中的面积元素可写成d??dx?dy,二重积分也可记作
?f(?,?)????f(x,y)dxdy?lim?D?0iii?1ni.
有了二重积分的定义,前面的体积和质量都可以用二重积分来表示.曲顶柱体的体积V是函
数z?f(x,y)在区域D上的二重积分
V???f(x,y)d?;
D薄片的质量M是面密度ρ?ρ(x,y)在区域D上的二重积分
M????(x,y)d?.
D
因为总可以把被积函数z?f(x,y)看作空间的一曲面,所以当f(x,y)为正时,二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积;当f(x,y)为负时,柱体就在xOy平面下方,二重积分就是曲顶柱体体积的负值. 如果f(x,y)在某部分区域上是正的,而在其余的部分区域上是负的,那么f(x,y)在D上的二重积分就等于这些部分区域上柱体体积的代数和.
如果f(x,y)在区域D上的二重积分存在(即和式的极限(10-1-1)存在),则称f(x,y)在D上可积.什么样的函数是可积的呢?与一元函数定积分的情形一样,我们只叙述有关结论,而不作证明.
如果f(x,y)是闭区域D上连续,或分块连续的函数,则f(x,y)在D上可积.
我们总假定z?f(x,y)在闭区域D上连续,所以f(x,y)在D上的二重积分都是存在的,以后就不再一一加以说明.
1.1.3 二重积分的性质
设二元函数f(x,y),g(x,y)在闭区域D上连续,于是这些函数的二重积分存在.利用二重积分的定义,可以证明它的若干基本性质.下面列举这些性质.
3