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2019高考数学数列的综合应用专题训练（含答

案）

数列是以正整数集(或它的有限子集)为定义域的函数，是一列有序的数。以下是查字典数学网整理的数列的综合应用专题训练，请考生练习。 一、填空题

1.(2019南通质检)已知数列{an}满足：a1=1，an0，a-a=1(nN*)，那么使an5成立的n的最大值________. [解析] 由a-a=1(nN*)知，数列{a}是首项为1，公差为1的等差数列，则a=1+(n-1)1=n. 由an5，n25，则n的最大值为24. [答案] 24

2.数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}中连续的三项，则数列{bn}的公比q=________. [解析] 设数列{an}的公差为d(d0)，由a=a1a7得(a1+2d)2=a1(a1+6d)，解得a1=2d. 故数列{bn}的公比q====2. [答案] 2

3.(2019泰州模拟)设数列{an}是首项大于零的等比数列，则a10，当a11.{an}为递增数列;若{an}为递增数列，则q1，a10)，

若交换a，b，则b，b-d，b+d成等比数列，得(b-d)2=b(b+d)，

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解得d=3b，a=-2b，c=4b. ==10.

若交换a，c，则d=0(舍去). 若交换b，c也可得=10，综上，=10. [答案] 10

7.从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒________次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.

[解析] 设倒n次后纯酒精与总溶液的体积比为an， 则an=n，由题意知n10%，n4. [答案] 4

8.已知数列{an}为等差数列，公差为d，若-1，且它的前n项和Sn有最大值，则使得Sn0的n的最小值为________. [解析] 根据Sn有最大值知，d0，则a10a11， 由-1知，a10a11，

且a11-a10即a10+a110，从而S19==19a100， S20==10(a10+a11)0， 则使Sn0的n的最小值为20. [答案] 20 二、解答题

9.(2019天津高考)已知首项为的等比数列{an}的前n项和为

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Sn(nN*)，且-2S2，S3,4S4成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)证明：Sn+(nN*).

[解] (1)设等比数列{an}的公比为q. 因为-2S2，S3,4S4成等差数列， 所以S3+2S2=4S4-S3，

即S4-S3=S2-S4，可得2a4=-a3， 于是q==-.

又因为a1=，所以等比数列{an}的通项公式为an=n-1=(-1)n-1.

(2)证明：Sn=1-n，Sn+=1-n+=

当n为奇数时，Sn+随n的增大而减小. 所以Sn+S1+=.

当n为偶数时，Sn+随n的增大而减小， 所以Sn+S2+=. 故对于nN*，有Sn+.

10.某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少.从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元;从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.

(1)求第n年初M的价值an的表达式;

(2)设An=，若An大于80万元，则M继续使用，否则需在第

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