内容发布更新时间 : 2024/5/12 14:53:16星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

探索梯形问题的变换策略

梯形问题的研究一般可通过图形变换适当添加辅助线转化为三角形或平行四边形来解决，本文举例介绍几种常见变换． 一、 平移变换

1．平移腰

例1．梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ＡＤ＝ＤＣ，ＢＣ＝2ＡＢ 试判别△ＡＢＣ的形状． Ａ Ｄ 解：△ＡＢＣ的形状为直角三角形．

理由如下：过Ａ作ＡＥ∥ＣＤ交ＢＣ于Ｅ，∵ＡＤ∥ＢＣ， ∴四边形ＡＥＣＤ是平行四边形，∴ＡＤ＝ＥＣ＝ＡＢ，

Ｂ Ｃ Ｅ ＡＥ＝ＤＣ＝ＡＢ，又∵ＢＣ＝2ＡＢ，∴ＢＥ＝

图1 ＣＢ－ＥＣ＝ＡＢ＝ＥＣ，Ｅ是ＢＣ的中点，又ＢＣ＝2ＡＥ，

故△ＡＢＣ为直角三角形．

2．平移底 Ｄ Ａ 例2．已知直角梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ⊥ＢＣ， ＡＤ＋ＢＣ＝ＡＢ，Ｏ是ＣＤ中点，连ＯＢ、ＯＡ，

Ｏ

试判断△ＡＢＣ的形状，并证明你的猜想．

解：△ＡＯＢ的形状是等腰直角三角形．

Ｅ 延长ＡＯ、ＢＣ交于Ｅ，∵∠Ｄ＝∠ＤＣＥ，ＯＤ＝ＯＣ， Ｂ Ｃ

图2 ∠ＤＯＡ＝∠ＣＯＥ，∴△ＡＤＯ≌△ＥＣＯ，∴ＡＯ＝ＥＯ，

ＡＤ＝ＣＥ，又∵ＡＤ＋ＢＣ＝ＡＢ，∴ＣＥ＋ＢＣ＝ＡＢ，即ＢＥ＝ＡＢ，∴△ＡＢＥ是等腰直角三角形，∵Ｏ为中点，∴△ＡＯＢ的形状是等腰直角三角形．

3．平移对角线

Ｄ 例3．梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ＤＣ，ＡＣ⊥ＢＤ， Ａ 高ＤＦ＝10㎝．

求：梯形的中位线的长．

解：过Ｄ作ＤＥ∥ＡＣ交ＢＣ的延长线于Ｅ，∵ＡＤ∥ＢＣ，

Ｆ Ｃ ∴四边形ＡＣＥＤ是平行四边形，∴ＡＣ＝ＤＥ，ＡＤ＝ＣＥ， Ｂ

图3 ∵ＡＣ＝ＢＤ，∴ＢＤ＝ＤＥ，又∵ＡＣ⊥ＢＤ，ＡＣ∥ＤＥ， ∴ＢＤ⊥ＤＥ，∴ＤＦ⊥ＢＥ，∴ＤＦ＝

Ｅ

11（ＢＣ＋ＣＥ）＝（ＡＢ＋ＡＤ）＝10㎝， 22即梯形的中位线的长是10㎝．

二、 割补变换

1．补形法——延长梯形两腰

例4．梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ＤＣ，ＡＤ＝15㎝， ＢＣ＝49㎝，∠Ｂ＝60，求腰长ＡＢ．

解：延长ＢＡ、ＣＤ相交于Ｏ，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ＤＣ， ∠Ｂ＝60，∴∠Ｃ＝∠Ｂ＝60，∴△ＡＯＤ是等边三角形， ∴ＯＡ＝ＡＤ＝15㎝，∴ＡＢ＝ＯＢ－ＯＡ＝34㎝．

2．分割法——作梯形的高

000Ｏ Ａ Ｄ

Ｂ

图4

Ｃ

0例5．梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝5，ＢＣ＝32，∠ＢＣＤ＝45，

∠ＡＤＣ＝600，求ＤＣ的长．

解：作ＢＥ⊥ＣＤ，ＡＦ⊥ＣＤ，垂足分别为Ｅ、Ｆ， ∵ＡＢ∥ＣＤ，∴四边形ＡＢＥＦ是矩形，∴ＥＦ＝ＡＢ， ∵∠ＢＣＤ＝450，ＢＣ＝32，∴ＢＥ＝ＣＥ ＝3，∴ＡＦ＝ＢＥ＝3，∵∠ＡＤＣ＝600，

Ｃ

Ｅ Ｆ 图5

Ｄ

Ｂ

Ａ

∴ＡＤ＝2ＦＤ，由勾股定理得，ＡＦ＝3ＦＤ，∴ＦＤ＝3，∴ＤＣ＝3＋5＋3 ＝８＋3．

三、 旋转变换

旋转变换是指平面图形绕着定点旋转一定角度而得到与原图形全等的图形的方法． 例6．如图（6），在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，∠ＢＣＤ的平分线与腰ＡＤ交于Ｍ，且ＡＭ＝ＤＭ，试说明：ＡＢ＋ＣＤ＝ＢＣ． Ａ Ｂ Ｅ 理由：由于ＡＭ＝ＤＭ，将△ＤＣＭ绕Ｍ点旋转至△ＡＭＥ处， 则△ＡＭＥ≌△ＤＭＣ，∴∠Ｅ＝∠2，ＡＥ＝ＤＣ， Ｍ 又∵∠1＝∠2，∴∠Ｅ＝∠1，∴ＢＥ＝ＢＣ， 2 1 又∵ＡＢ＋ＡＥ＝ＢＥ，∴ＡＢ＋ＣＤ＝ＢＣ．

Ｃ Ｄ

图6 四、 翻转变换

翻转变换是指平面图形绕着定直线翻转而得到与原图形全等的图形的方法． 例7．如图（7），直角梯形ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥ＣＤ， Ｄ Ｃ

Ｅ ＡＤ⊥ＡＢ，ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ，Ｐ为ＡＤ的中点，

试判别ＣＰ与ＢＰ的位置关系． 简析：ＣＰ⊥ＢＰ

Ｐ 为利用条件ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ将梯形ＡＢＣＤ绕 ＡＤ翻转作一倒置全等梯形ＡＤＥＦ，使ＡＦ＝ＣＤ，

ＤＥ＝ＡＢ，则得一菱形ＢＣＥＦ，且菱形的对角线ＢＥ、ＣＦ 相交于Ｐ，由ＢＥ⊥ＣＦ得ＣＰ⊥ＢＰ．

Ｆ Ａ 图6

Ｂ