内容发布更新时间 : 2024/6/26 14:52:21星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

数值分析课后习题部分参考答案

Chapter 1

（P10）5. 求2的近似值x，使其相对误差不超过0.1%。 解：2?1.4?。

设x有n位有效数字，则|e(x)|?0.5?10?10**?n*。

0.5?101?n从而，|er(x)|?。

1*故，若0.5?101?n?0.1%，则满足要求。

*解之得，n?4。x?1.414。

（P10）7. 正方形的边长约100cm，问测量边长时误差应多大，才能保证面积的误差不超过1cm。

解：设边长为a，则a?100cm。

设测量边长时的绝对误差为e，由误差在数值计算的传播，这时得到的面积的绝对误差有如下估计:?2?100?e。按测量要求，|2?100?e|?1 解得，|e|?0.5?10。

Chapter 2

（P47）5. 用三角分解法求下列矩阵的逆矩阵：

?22?11?1???A??210? 。

?1?10???解：设A?1??????。分别求如下线性方程组：

?1??0??0???????A???0?，A???1?，A???0?。

?0??0??1???????

先求A的LU分解（利用分解的紧凑格式），

(1)1(?1)?1??(1)1??(2)2(1)?1(0)2??。 ?(1)1(?1)2(0)?3????100??11?1?????即，L??210?，U??0?12?。

?00?3??121?????经直接三角分解法的回代程，分别求解方程组，

?1??0?????Ly??0?和U??y，得，???0?；

?0???1??????1???3?0?????1Ly??1?和U??y，得，????；

?3??0??2??????3??1???3?0?????2Ly??0?和U??y，得，；?????。

?3??1??1???????3???0?所以，A?1??0????1?1313231??3?2??。 3?1???3?

（P47）6. 分别用平方根法和改进平方根法求解方程组：

21?3??x1??1??1??????50?5??x2??2??2??? ???1?0141x316????????3?5115??x??8????4???解:

平方根法：

先求系数矩阵A的Cholesky分解（利用分解的紧凑格式），

0?(1)1??1???(5)11?(2)2??2L?，即，?(1)1??1?2(0)?2(14)3????(?3)?3(?5)1(1)2(15)1???31???经平方根法的回代程，分别求解方程组

00??00?T，其中，。 A?L?L?3?21???1??1??????2??1?Ly???和LTx?y，得，x???。

161?????8??1?????改进平方根法：

T先求系数矩阵A的形如A?LDL的分解，其中L?(lij)4?4为单位下三角矩阵，

D?diag{d1,d2,d3,d4}为对角矩阵。

利用计算公式，得

d1?1；

t21?2,l21?2,d2?1;

t31?1,t32??2,l31?1,l32??2,d3?9;

t41??3,t42?1,t43?6,l41??3,l42?1,l43?分别求解方程组，

2,d4?1。 3?1??1??????2??1?Ly???和DLTx?y，得，x???。

161?????8??1?????

?x1?0.99x2?1（P48）12. 已知方程组?的解为x1?100,x2??100。

0.99x?0.98x?112?（1） 计算系数矩阵的条件数；

（2） 取x1?(1,0),x2?(100.5,?99.5)，分别计算残量ri?b?Axi(i?1,2)。 本题的计算结果说明了什么？

*T*T*0.99??1??9800?1??解：（1）设A??，求得，A????9900?0.990.98??从而，Cond(A)1?39601。

9900??。

?10000??