内容发布更新时间 : 2024/11/15 7:47:55星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
线性代数习题集
答案：提示：由A2?2A?5E?0得A??（A-2E）??E。 【15】填空题
?1?5???2?13???（1）设矩阵A=051，则(A?3E)?1(A2?9E)=_________ ????123??（2）设A是3阶数量矩阵，且A=-27，则A=_________ （3）设A是4阶方阵，且A=-2，则A的伴随矩阵A的
*行列式A=_________
?1*
?1???3??5-13???1??（2）??； ?答案：（1）081；
????3????126??1????3???（3）-8 【16】选择题
（1）设A是n阶方阵，且满足等式A?A?2E?0，则A的逆矩阵是 （A） A-E； （B）E-A； （C）
211(A?E)； （D）(E?A)。 22（2）设A，B是n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是 A、(AB)?1?11?1?1?1(AB)?AB；B、 ?1?1AB?1n?1C、(AB)?AB；D、(AB)?(?1)AB
（3）设A，B，C为n阶方阵，且ABC=E，则必成立的等式为 A、ACB=E;B、CBA=E;C、BAC=E;D、BCA=E
（4）设A，B为n阶对称矩阵，m为大于1的自然数，则必为对称矩阵的是 A、A；B、(AB)；C、AB;D、(A?B)。
（5）设A，B，A+B，A+B均为n阶可逆矩阵，则（A+B）等于
?1?1?1?1mm?1第13页 共35页
线性代数习题集
A、A+B；B、A+B；C、B(A?B)?1A；D、(A?B)?1。 （1）C；（2）B；（3）D；（4）A；（5）C 【17】求下列矩阵的秩
?1?1?25?1234??75???（1）1?245；??（3）?75???11012???25319494321743?53132?? 54134??2048??47?6735201155???。
9823?29486（4）26????16?4281128452??答案：（1）r（A）=2；（2）r（A）=2；（3）r（A）=3；（4）r（A）=2； 【18】求下列矩阵的标准形
?1?1?2?2（1）??30??03?1?0答案：（1）??0??024600100?110??1???20?；（2）?0?11??0??01???00100?1000??1100?。
?0110?1011??0000?1000??0100?。
?0010?0001??00100000?10??0??0?；（2）?00??0??0???02【19】假设方阵A满足方程aA?bA?cE?0，其中a，b，c是常数，而且C≠0，试证A是满
秩方阵，并求出其逆矩阵。 【20】选择题
??123???（1）设矩阵A=?368，且r（A）=2，则t等于 ????2?4t??A、-6；B、6；C、8；D、t为任何实数。
（2）设A是3阶方阵，若A=0，下列等式必成立的是 A、A=0；B、r（A）=2；C、A=0；D、A?0 （3）设A是m×n矩阵，且m 第14页 共35页 32线性代数习题集 TTTA、AA?0；B、AA?0；C、AA0；D、ATA0。 答案：（1）D；（2）C；（3）B。 【21】求下列矩阵的逆矩阵： ?0?0（1）A???2??1001312002??100??2??3?0?200?；?。 （2）A???31?193?4?0????0??2314?23??1???5??212??325?；?1?（3）???110????2?1?0??3?00?5?1?00??5答案：（1）A?1????120?33?21??033?00320?0??。 4??3??B0?【22】假设B是n阶可逆矩阵，C是m阶可逆方阵。试证明分块矩阵A???是可逆方阵， 0C??并且用B?1,C?1表示分块矩阵A。 答案：提示：由拉普拉斯展开定理，得A、BC?0，故A是可逆矩阵。由逆矩阵定义， ?1?B?10?得A??。 ?1?0C?? 【23】已知三阶方阵A=（aij）与任意三阶方阵B之积可交换：AB=BA，证明A是数量矩阵。 【24】设4阶矩阵 ?0?100??2?00?10??0 ?C=?B=??000?1??0????0000??0 ?11200 T3120 T4?3?? 1??2? 且矩阵A满足等式A(E?CB)C?E?A。其中E为4阶单位矩阵，求矩阵A。 T于是A???(C?B?E)?? ?1第15页 共35页 线性代数习题集 nT【25】（00403）设a??1,0,?1?，矩阵A???，n为正整数，则detaE?A= T??【26】（04404） ?0?10???设A??100?，B=P?1AP，其中P为三阶可逆矩阵，则B2004?2A2? 。 ??00?1??【27】（04404）设A?(aij)3X3是实正交矩阵，且a11=1，b=(1,0,0)T，则线性方程组Ax=b得解是 。 【28】（04104） ?210???设矩阵A??120?，矩阵B满足ABA*?2BA*?E，其中A*为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则B? ?001??? 。 【29】（00203）设 00?1?0??23A=?0?45??00?6? . 0??0??1?1=,E为4阶段单位矩阵，且B?(E?A)(E?A),则（E?B）0??7??【30】（94503）设A,B都是n阶非零矩阵，且AB=0,则A和B得秩（ ） A.必须有一个等于零 B.都小于n C.一个小于n，一个等于n D.都等于n 第16页 共35页