内容发布更新时间 : 2025/1/27 7:07:41星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第五节 直线、平面垂直的判定及性质

垂直的判定与性质

(1)掌握直线与平面垂直的判定定理和性

质定理．

(2)掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．

知识点一 直线与平面垂直 1．直线与平面垂直的判定定理

(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．

(2)图形语言：如图1所示．

(3)符号语言：a?α，b?α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b?l⊥α.

2．直线与平面垂直的性质定理

自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． 图形语言：如图2所示． 符号语言：a⊥α，b⊥α?a∥b.

易误提醒 斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线，而不是线段．

必记结论 (1)直线与平面垂直的定义常常逆用，即a⊥α，b?α?a⊥b.

(2)若平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． (5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．

[自测练习]

1．设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a，且l⊥b”是“l⊥α”的( )

A．充要条件 C．必要不充分条件

B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：由线面垂直的判定定理知，充分性不成立，由线面垂直的性质定理知，必要性成立，故选C.

答案：C

2．已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系为( )

A．b?α C．b?α或b∥α

B．b∥α D．b与α相交

解析：由a⊥b，a⊥α知b?α或b∥α，但直线b不与α相交． 答案：C

知识点二 平面与平面垂直 1．平面与平面垂直的判定 (1)两个平面垂直的定义

如果两个相交平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直．平面α与β垂直，记作α⊥β.

(2)两个平面垂直的判定定理

自然语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．

图形语言：如图1所示．

符号语言：AB ⊥β，AB?α?α⊥β.

图1

2．平面与平面垂直的性质

自然语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．

图形语言：如图2所示．

图2

符号语言：α⊥β，α∩β＝CD，AB?α，AB⊥CD?AB⊥β. 易误提醒 平面和平面垂直的判定定理的两个条件：l?α，l

⊥β，缺一不可．

必记结论 (1)两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情

况，正方体中任意相邻的两个面都是互相垂直的；

(2)由定理可知，要证明平面与平面垂线，可转化为从现有直线中寻找平面的垂线，即证明线面垂直；

(3)面面垂直的判定定理提供了找出垂直于一个平面的另一个平面的依据．

[自测练习]

3．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )