内容发布更新时间 : 2024/6/26 13:25:02星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第6讲 函数的综合及其应用 一、选择题

?x2?x1．(2017天津)已知函数f(x)???3,x≤1,???x?2x,x?1.设a?R，若关于x的不等式f(x)≥|x2?a|在R上恒成立，则a的取值范围是( ) A．[?4716,2] B．[?4716,3916] C．[?23,2] D．[?23,3916]

2．(2015北京)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )

A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

3．(2014北京)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系

p?at2?bt?c(a、b、c是常数)，下图记录了三

次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( ) A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟

D．4.25分钟

p0.80.70.5O345t

4．(2014湖南)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )

A．p?q

2

B．(p?1)(q?1)?12

C．pq D．(p?1)(q?1)?1

二、填空题

5．(2017山东)若函数exf(x)(e=2．71828

，是自

然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中具有M性质的是____． ①

f(x)?2?x②f(x)?x2③f(x)?3?x④

f(x)?cosx

6．(2017江苏)设f(x)是定义在R且周期为1的函

数，在区间[0,1)上，f(x)???x2,x?D?D其中集合

?x,xD?{x|x?n?1n,n?N*}，则方程f(x)?lgx?0的解的个数是____．

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7．(2017新课标Ⅰ)如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为

O．D、E、F为圆O上的点，?DBC，?ECA，

?FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起?DBC，?ECA，?FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当?ABC的边长变化时，所得三

棱锥体积(单位：cm3)的最大值为____．

EAFOCBD

8．(2016年北京)设函数f(x)???x3?3x,x≤a,x?a．

??2x①若a?0，则f(x)的最大值为____；

②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是____．

9．(2015四川)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：C)满足函数关系

y?ekx?b(e?2.718?为自然对数的底数，k、b为

常数)．若该食品在0C的保鲜时间设计192小时，在22C的保鲜时间是48小时，则该食品在33C的保鲜时间是小时．

10．(2014山东)已知函数y?f(x)(x?R)，对函数

y?g?x??x?I?，定义g?x?关于f?x?的“对称

函数”为函数

y?h?x??x?I?，y?h?x?满足：

对任意x?I，两个点

?x,h?x??,?x,g?x??关于点?x,f?x??对称，若

h?x?是g?x??4?x2关于

f?x??3x?b的“对称函数”，且h?x??g?x?恒成立，则实数b的取值范围是____．

11．(2014福建)要制作一个容器为4m3

，高为1m的

无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是____(单位：元)

?80?20(x?4x)≥80?20?2x?4x ?160

12．(2014四川)以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数?(x)组成的集合：对于函数?(x)，存在一个正数M，使得函数?(x)的值域包含于区间

[?M,M]．例如，当?1(x)?x3，?2(x)?sinx时，

?1(x)?A，?2(x)?B．现有如下命题：

①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)?A”的充要条件是“?b?R，?a?D，f(a)?b”；

②函数f(x)?B的充要条件是f(x)有最大值和最小值；

③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)?A，

g(x)?B，则f(x)?g(x)?B；

④若函数f(x)?aln(x?2)?xx2?1(x??2，a?R)有最大值，则f(x)?B．

其中的真命题有____．(写出所有真命题的序号) 三、解答题

13．(2018上海)某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上

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班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S中x%(0?x?100)的成员自驾时，自驾群

体的人均通勤时间为

?f(x)??30,0?x≤30,? ??2x?1800x?90,30?x?100(单位：分钟)，

而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：

(1)当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？

(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式；讨论g(x)的单调性，并说明其实际意义．

14．(2018江苏)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到

MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温

室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚

Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A,B均在线段MN上，C,D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为?．PDCMOABN

(1)用?分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sin?的取值范围；

(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为

4∶3．求当?为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总

产值最大．

15．(2016年上海高考)已知a?R，函数

f(x)?log12(x?a).

(1)当a?5时，解不等式

f(x)?0；

(2)若关于x的方程

f(x)?log2[(a?4)x?2a?5]?0的解集中恰好

有一个元素，求a的取值范围； (3)设a?0，若对任意t?[12,1]，函数f(x)在区间[t,t?1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的

取值范围.

16．(2015江苏)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以

l1，l2所在的直线分别为x,y轴，建立平面直角坐标

系xoy，假设曲线C符合函数y?ax2?b(其中a,b为常数)模型．

(I)求a,b的值；

(II)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t. ①请写出公路l长度的函数解析式f?t?，并写出其定义域；

②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．

17．(2013重庆)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，

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