内容发布更新时间 : 2024/6/24 20:58:32星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第二课时 对数的运算

对数的运算性质 [提出问题] 问题1：我们知道am＋n＝a·a，那么loga(M·N)＝logaM·logaN正确吗？举例说明．

mn提示：不正确．例如log24＝log2(2×2)＝log22·log22＝1×1＝1，而log24＝2. 问题2：你能推出loga(MN)(M>0，N>0)的表达式吗？ 提示：能．令a＝M，a＝N， ∴MN＝am＋nmn.

由对数的定义知logaM＝m，logaN＝n，loga(MN)＝m＋n， ∴loga(MN)＝logaM＋logaN. [导入新知]

对数的运算性质 若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN， (2)loga＝logaM－logaN， (3)logaM＝nlogaM(n∈R)． [化解疑难] 巧记对数的运算性质 (1)两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的和． (2)两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差． (3)正数幂的对数等于幂指数乘同一底数幂的底数的对数. 换底公式 [提出问题] 问题1：(1)log28；(2)log232；(3)log832各为何值？ 提示：(1)log28＝3；(2)log232＝5； 5

(3)log832＝log88＝.

3log232

问题2：log832＝成立吗？

log28提示：成立．

53nMN

[导入新知]

换底公式

若c>0且c≠1，则logab＝[化解疑难] 1．换底公式的推导

设x＝logab，化为指数式为a＝b，两边取以c为底的对数，得logca＝logcb，即xlogca＝logcb，

logcblogcb所以x＝，即logab＝. logcalogca2．换底公式常用推论

loganb＝logab(a>0，a≠1，b>0，n≠0)； logamb＝logab(a>0，a≠1，b>0，m≠0，n∈R)； logab·logba＝1(a>0，b>0，a≠1，b≠1)；

logab·logbc·logcd＝logad(a>0，a≠1，b>0，b≠1，c>0，c≠1，d>0)．

nnxxlogcb(a>0，且a≠1，b>0)． logcanm

对数运算性质的应用 [例1] (1)若a>0，且a≠1，x>y>0，n∈N，则下列各式： ①logax·logay＝loga(x＋y)； ②logax－logay＝loga(x－y)； logaxx③loga(xy)＝logax·logay；④＝loga； logayy1nn⑤(logax)＝logax；⑥logax＝－loga； *x⑦logaxx－yx＋yn＝logax；⑧loga＝－loga. nx＋yx－y其中式子成立的个数为( ) A．3 C．5

(2)计算下列各式的值： 1①4lg 2＋3lg 5－lg；

5

B．4 D．6

2

②

log52·log4981

；

13log25·log74

3

32log3③2log32－log3＋log38－55；

9④log28＋43＋log28－43.

[解] (1)选A 对于①，取x＝4，y＝2，a＝2， 则log24·log22＝2×1＝2，而log2(4＋2)＝log26≠2， ∴logax·logay＝loga(x＋y)不成立；

对于②，取x＝8，y＝4，a＝2，则log28－log24＝1≠log2(8－4)＝2， ∴logax－logay＝loga(x－y)不成立；

对于③，取x＝4，y＝2，a＝2，则log2(4×2)＝log28＝3，而log24·log22＝2×1＝2≠3， ∴loga(xy)＝logax·logay不成立；

log244对于④，取x＝4，y＝2，a＝2，则＝2≠log2＝1，

log222∴

logaxx＝loga不成立； logayy3

3

对于⑤，取x＝4，a＝2，n＝3，则(log24)＝8≠log24＝6，∴(logax)＝logax不成立； 1－1－1－1

⑥成立，由于－loga＝－logax＝loga(x)＝logax；

nnx1

⑦成立，由于logax＝logax＝logax；

n1nn⑧成立，由于loga4

x－y?x＋y?－1＝－logx＋y.

＝loga??ax＋yx－y?x－y?

3

2×54

(2)①原式＝lg＝lg 10＝4.

15

1log572＝＝－3log32×log23＝－3.

21??－log53·?log72?

2?3?

②原式＝

③原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3 ＝5log32－(5log32－2log33)－3＝－1.

④原式＝log2(8＋43·8－43)＝log24＝2. [类题通法]

解决对数运算的常用方法

解决对数的运算问题，主要依据是对数的运算性质．常用方法有：

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