内容发布更新时间 : 2024/12/23 17:36:45星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
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习题
?a111、设A是对称阵且a11?0,经过高斯消去法一步后,A约化为??0称矩阵。 证明: T?a1?,证明A2是对A2??a11?a12设对称矩阵A???...??a1na12...a1n?a22...an2?? ,则经过1次高斯校区法后,有 .........??a2n...ann??a1n?...an2?a12?a11??......??a1n...ann?a12?a11? a1n?a12?an2?a1n?a11??...??aann?1na1n?a11?...a1na12?a11??0a22?a12a12a11?A(1)??...?...?a1na12?0a2n?a11?a12...?a11??0a22?a12a12...a11???......?...?a1n0a?a12...?n2a11?T所以a1?[a12...an2] a12a12??a?a...a?a1n?n2?22a12a1111??A2??.........? ??aa?an2?1na12...ann?1na1n??a11a11???所以A2为对称矩阵。 2、设A是对称正定矩阵,经过高斯消去法一步后,A约化为A?(aij)n,其中A?(aij)n,(2)A2?(aij)n?1; 证明:(1)A的对角元素aii?0(i?1,2,,n);(2)A2是对称正定矩阵; . 学习参考 .
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(1)依次取xi?(0,0,?,0,1,0,?,0)T,i?1,2,?,n,则因为A是对称正定矩阵,i所以有aii?xTAx?0。 (2)(2)A2中的元素满足aij?aij?ai1a1ja11,(i,j?2,3,?,n),又因为A是对称正定ai1a1ja11a1iaj1a11(2)矩阵,满足aij?aji,i,j?1,2,?,n,所以aij?aij??aji??a(ji2),即A2是对称矩阵。 3、设Lk为指标为k的初等下三角矩阵(除第k列对角元以下元素外,Lk和单位阵I 相同),即 ?1?...??1Lk??mk?1,k??...?mn,k??????? 1?...??1??求证当i,j?k时,Lk?IijLkIij 也是一个指标为k的初等下三角矩阵,其中Iij为初等置换矩阵。 4、试推导矩阵A 的Crout分解A=LU的计算公式,其中L为下三角矩阵,U为单位上三角矩阵。 本题不推导。参见书上例题。P147页。 5、设Ux?d ,其中U为三角矩阵。 (1)就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式,并写出算法 (2)计算解三角方程组Ux?d的乘除法次数 (3)设U为非奇异矩阵,试推导求U?1的计算公式 . 学习参考 .
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本题考查求解公式的一般方法,可从第n个元素开始,逐步计算n-1,…1时对应的求解公式。 解法,略。 6、证明: (1)如果A是对称正定矩阵,则A?1也是对称正定矩阵 (2)如果A是对称正定矩阵,则A可以唯一地写成A?LTL,其中L是具有正对角元的下三角矩阵 均是对称正定矩阵的性质。应予以记住。 7、用列主元消去法解线性方程组 ?12x1?3x2?3x3?15???18x1?3x2?x3??15 ?x?x?x?6?123并求出系数矩阵A的行列式的值 ?12?33?? A???183?1???11??1??12?3315?? A|b???183?1?15???116??1?使用列主元消去法,有 ?12?3315?? A|b???183?1?15???116??1???183?1?15?? ??12?3315???116??1?. 学习参考 .
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????183?1?15???7??0?15? ??3?71731??0?6186??????183?1?15???71731? ??0?6186???7?0?15?3?????183?7??0?6??00???1?15??1731? ?1866666??217?A的行列式为-66 方程组的解为 X1=1,x2=2,x3=3 8、用直接三角分解(Doolittle分解)求线性方程组的解 11?1x?x??41526x3?9?11?1x?x?x3?8 ?1245?3?1?2x1?x2?2x3?8?本题考查LU分解。 解: . 学习参考 .
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?1?4?1A???3??1??2151411?6??1?5?? 2??????100???1L??10??3??1? ?11??2??1?4?U??0???0??15116001?6??13? ?90?957?540??9、用追赶法解三对角方程组Ax?b,其中 ?2?1000??12?100?A??0?12?10??00?12?1??000?12??1???0?????,b??0?。 ?????0?????0??解:追赶法实际为LU分解的特殊形式。设U为、单位上三角矩阵。有 (1)计算?i的递推公式 ?1?c1/b1??1/2??0.5?2?c2/(b2?a2??1)??1/(2?(?1)?(?0.5))??2/3 ?3?c3/(b3?a3??2)??1/(2?(?1)?(?2/3))??3/4 ?4?c4/(b4?a4??3)??1/(2?(?1)?(?3/4))??4/5(2)解Ly=f . 学习参考 .