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2015届高三文科数学立体几何空间角专题复习

考点1：两异面直线所成的角

例1.如图所示，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点 （Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B1M1

AB?AC?AA1，例2.（2010全国卷1文数）直三棱柱ABC?A1B1C1中，若?BAC?90?，

则异面直线BA1与AC1所成的角等于（ C ）

(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 90° 变式训练：

1.（2009全国卷Ⅱ文）已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为( C )

（A）1031013 (B) (C) (D) 101055?2.如图，直三棱柱ABC?A1B1C1，?BCA?90，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，

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BC?CA?CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（ ）

A．

3030151 B． C． D． 10102153.（2012年高考（陕西理））如图,在空间直角坐标系中有直三棱

ABC?A1B1C1,CA?CC1?2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为

A．（ ）

5 5B．5 3

C．25 5C1 B1

D．

3 5C1B1NDCD1 A1 D1A1C ABA B

第3题图 第4题图 第5题图

4．(2007全国Ⅰ·文)如图，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1?2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（ ） Ａ．

D M1 5Ｂ．

2 5Ｃ．

3 5Ｄ．

4 55.（ 2012年高考（四川文理））如图,在正方体ABCD?A1B1C1D1中,M、N分别是CD、

CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成角的大小是____________.90o

6.（2011年全国二文15）已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线2AE与BC所成角的余弦值为________．

3

7.已知正三棱柱ABC?A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线

AB1和BM所成的角的大小是 。 8（2011年上海文）已知ABCD?A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，高AA1?2，求 （1）异面直线BD与AB1所成角的余弦值；

A1D1C110（2）四面体AB1D1C的体积. 10ABDCB1学习必备 欢迎下载

考点2：直线与平面所成的角

例3.正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（ D ）

（A） 3622 （B） （C） （D） 3333

例4.（2011年天津文17）如图1－7，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形， ∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点． (1)证明PB∥平面ACM；(2)证明AD⊥平面PAC； (3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．

图1－7图1－8

【解答】 (1)证明：连接BD，MO.在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点．又M为PD的中点，所以PB∥MO.因为PB?平面ACM，MO?平面ACM，所以PB∥平面ACM.

(2)证明：因为∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PO⊥AD.而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC.

1

(3)取DO中点N，连接MN，AN.因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN＝PO

2

＝1.由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成

1515

的角．在Rt△DAO中，AD＝1，AO＝，所以DO＝.从而AN＝DO＝.在Rt△ANM中，

2224

MN14545

tan∠MAN＝＝＝，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.

AN555

4

变式训练

9.（20008福建卷理）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(D)

A.

6 3 B.

26 5 C.

15 5 D.

10 5??B?A?

第9题图 第10题图 第11题图