内容发布更新时间 : 2024/5/1 2:45:19星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
内容来自：文档资料库
多所高校近世代数题库
一、 （2011 年近世代数）判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√” ， 错的打“×” ；每小题 1 分，共 10 分） 1、设 A 与 B 都是非空集合，那么 A ∪ B = {x x ∈ A且x ∈ B}。 （ ） ） ） ）
2、 A 、B 、D 都是非空集合， A × B 到 D 的每个映射都叫作二元运算。 设 则 （ 3、只要 f 是 A 到 A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射 f 1 。 （
4、如果循环群 G = (a ) 中生成元 a 的阶是无限的，则 G 与整数加群同构。 （
5、如果群 G 的子群 H 是循环群，那么 G 也是循环群。 （ ） 6 、 近 世 代 数 中 ， 群 G 的 子 群 H 是 不 变 子 群 的 充 要 条 件 为 g ∈ G , h ∈ H ; g 1 Hg H 。 （ ） （ （ ） ） ）
7、如果环 R 的阶 ≥ 2 ，那么 R 的单位元 1 ≠ 0 。 8、若环 R 满足左消去律，那么 R 必定没有右零因子。
9、F ( x) 中满足条件 p (α ) = 0 的多项式叫做元 α 在域 F 上的极小多项式。 （
10、若域 E 的特征是无限大，那么 E 含有一个与 Z
( p ) 同构的子域，这里 Z 是整 （ ）
数环， ( p ) 是由素数 p 生成的主理想。
二、 2011 年近世代数）单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确 （ 答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。 每小题 1 分，共 10 分） 1、设 A1 , A2 , L , An 和 D 都是非空集合，而 f 是 A1 × A2 × L × An 到 D 的一个映射，
那么（ ）
①集合 A1 , A2 , L , An , D 中两两都不相同；② A1 , A2 , L , An 的次序不能调换； ③ A1 × A2 × L × An 中不同的元对应的象必不相同； ④一个元 (a1 , a 2 , L , a n ) 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（ ） a+b ①在整数集 Z 上， a o b = ； ②在有理数集 Q 上， a o b = ab
ab ；
③在正实数集 R + 上， a o b = a ln b ；④在集合 {n ∈ Z n ≥ 0}上， a o b = a b 。 3、 o 是
整数集 Z 上的二元运算， 设 其中 a o b = max{a, b} （即取 a 与 b 中的最大者） ， 那么 o 在 Z 中（ ）
①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。 4、设 (G,o ) 为群，其中 G 是实数集，而乘法 o : a o b = a + b + k ，这里 k 为 G 中固 定的常数。那么群 (G,o ) 中的单位元 e 和元 x 的逆元分别是（ ①0 和 x ； ②1 和 0； ③ k 和 x 2k ； ）
④ k 和 ( x + 2k ) 。 ）
5、设 a, b, c 和 x 都是群 G 中的元素且 x 2 a = bxc 1 , acx = xac ，那么 x = （ ① bc 1 a 1 ； ② c 1 a 1 ； ③ a 1bc 1 ； ④ b 1ca 。
6、设 H 是群 G 的子群，且 G 有左陪集分类 {H , aH , bH , cH }。如果 6，那么 G 的 阶 G =（ ①6； ） ②24； ③10； ④12。 ）
7、设 f : G1 → G2 是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ ① f 的同态核是 G1 的不变子群； ③ G1 的子群的象是 G2 的子群；
② G2 的不变子群的逆象是 G1 的不变子群； ④ G1 的不变子群的象是 G2 的不变子群。 ）
8、设 f : R1 → R2 是环同态满射， f (a ) = b ，那么下列错误的结论为（ ①若 a 是零元，则 b 是零元； ②若 a 是单位元，则 b 是单位元；
③若 a 不是零因子，则 b 不是零因子；④若 R2 是不交换的，则 R1 不交换。 9、下列正确的命题是（ ） ①欧氏环一定是唯一分解环； ②主理想环必是欧氏环； ③唯一分解环必是主理想环； ④唯一分解环必是欧氏环。 ） 10、若 I 是域 F 的有限扩域， E 是 I 的有限扩域，那么（ ① (E : I ) = (E : I )(I : F ) ； ③ (I : F ) = (E : F )(F : I ) ； ② (F : E ) = (I : F )(E : I ) ； ④ (E : F ) = (E : I )(I : F ) 。
三、 （2011 年近世代数）填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容 填错或未填者，该空无分。每空 1 分，共 10 分）
1、设集合 A = { 1,0,1}； B = { ,2} ，则有 B × A = 1 。
2、如果 f 是 A 与 A 间的一一映射， a 是 A 的一个元，则 f [ f (a )] =a
3、设集合 A 有一个分类，其中 Ai 与 A j 是 A 的两个类，如果 Ai ≠ A j ，那么 Ai I A j =空集
4、设群 G 中元素 a 的阶为 m ，如果 a n = e ，那么 m 与 n 存在整除关系为 m|n、 5、凯莱定理说：任一个子群都同一个交换群 同构。
6、给出一个 5-循环置换 π = (31425) ，那么 π 1 =（13524）。
7、若 I 是有单位元的环 R 的由 a 生成的主理想，那么 I 中的元素可以表达∑ xi ay i , xi , y i ∈ R 。 为
8、若 R 是一个有单位元的交换环， I 是 R 的一个理想，那么 R 是一个域当且仅 I 是一个最大理想。
9、整环 I 的一个元 p 叫做一个素元，如果p 既不是零元，也不是单位，且 q 只有平凡因子。 10、若域 F 的一个扩域 E 叫做 F 的一个代数扩域，如果E 的每一个元都是 F 上的一个代数元。
四、 （2011 年近世代数）改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将 正确的内容写在预备的横线上面。指出错误 1 分，更正错误 2 分。每小题 3 分， 共 15 分） 1、 如果一个集合 A 的代数运算 o 同时适合消去律和分配律（结合律和交换律0， 那么在 a1 o a 2 o L o a n 里，元的次序可以掉换。
2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合 G 作成一个群，如果满足 G 对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立(消去律成立）。
3、设 I 和 S 是环 R 的理想且 S=I或S= R ，如果 I 是 R 的最大理想，那么 S ≠ 0 。 4、唯一分解环 I 的两个元 a 和 b 不一定会有最大公因子，若 d 和 d ' 都是 a 和 b 的 最大公因子，那么必有 d = d ' 。
5、 α 叫做域 F 的一个代数元，如果存在 F 的都不（不都）等于零的元 a 0 , a1 , L , a n 使得 a 0 + a1 + α L + a nα n = 0 。
五、 （2011 年近世代数）计算题（共 15 分，每小题分标在小题后） 1、给出下列四个四元置换
π1 = 1 2 3 4 , π 2 = 1 2 4 3 , π 3 = 2 1 3 4 , π 4 = 2 1 4 3
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
组成的群 G ， 试写出 G 的乘法表， 并且求出 G 的单位元及 π 11 , π 2 1 , π 3 1 , π 4 1 和 G 的
所有子群。
2、设 Z 6 = {[0], [1], [2], [3], [4], [5]} 是模 6 的剩余类环，且 f ( x), g ( x) ∈ Z 6 [x ] 。如果 f ( x) = [3]x 3 + [5]x + [2] 、 g ( x) = [4]x 2 + [5]x + [3] ，计算 f ( x) + g ( x) 、 f ( x) g ( x) 和 f ( x) g ( x) 以及它们的次数。
3、群 G=(a),|a|=7，求出群 G 的所有子群。
六、 （2011 年近世代数）证明题（每小题 10 分，共 40 分） 1、设 a 和 b 是一个群 G 的两个元且 ab = ba ，又设 a 的阶 a = m ， b 的阶 b = n ， 并且 (m, n) = 1 ，证明： ab 的阶 ab = mn 。
2、设 R 为实数集， a, b ∈ R, a ≠ 0 ，令 f ( a ,b ) : R → R, x a ax + b, x ∈ R ，将 R 的
所有这样的变换构成一个集合 G = {f ( a ,b ) a, b ∈ R, a ≠ 0}，试证明：对于变换普通 的乘法， G 作成一个群。 3、 I 1 和 I 2 为环 R 的两个理想， 设 试证 I 1 I I 2 和 I 1 + I 2 = {a + b a ∈ I 1 , b ∈ I 2 } 都是 R
的理想。 4、设 R 是有限可交换的环且含有单位元 1，证明： R 中的非零元不是可逆元就 是零因子。 5、整数环 Z 中，证明（3，7）=(1) 6、证明：域是欧式环。 7、证明群同态定理第一条。 8、R[x]条件下，做映射：f：g(x)=g(0),求证：在 f 映射下 R[x]与 R 同构,并求其 核。