内容发布更新时间 : 2024/11/20 17:34:16星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
高中数学中的“对称图形”题型及解法浅探
“对称性”是数学美的一种体现,也是历年高考题中的常见题型,理解和掌握“对称图形”的基本规律和解题方法是十分必要的.
一、本身具有对称性的图形
如“三角函数的图像,圆锥曲线”等,此类问题可直接应用对称轴方程加以解决.
例1:如果y=sin2x+acos2x的图像关于直线x=- 对称,那么A=( ) A. B.- C.1 D.-1
解:∵y=sin2x+cos2x= sin(2x+φ),其中tanφ=a ∴2x+φ=kπ+ ?圯x= + - =-
∴φ=kπ+ 即:a=tan(kπ+ )=-1,故选D. 例2:曲线x +y +2 -2 =0关于( ) A.直线x= 对称 B.直线y=-x对称
C.点(-2, )中心对称 D.点( ,0)对称 解:将方程配方得:(x+ ) +(y- ) =4,
∴曲线是以(-2, )为圆心,2为半径的圆.由圆自身的对称性可知应选B.
评析:1.对于y=sinx直接应用对称轴方程x=kπ+ (k
∈Z)求解,方法简明扼要.
2.对于圆,过圆心的任意直线都是对称轴,圆心是对称中心.
3.关于y=f(x)其图像存在对称性,有一般的结论:f(x+a)=f(b-x)恒成立?圳y=f(x)的图像关于x= 对称. 二、两个图形关于点对称
两个图形关于点对称的此类问题可借中点公式极易解决.
例3:设曲线C的方程是y=x -x将C沿x轴、y轴的正方向分别平行移动T、S个单位长度后,得曲线C , (1)写出C 的方程;
(2)证明C 和C关于点( , )对称. 解析:(1)由题意:C :y-S=(x-T) -(x-T). (2)设M(x,y)是C上的任意点,M′(x′,y′)是M关于( , )的对称点,
由中点公式:x=T-x′,y=x-y′,代入C得:y′-S=(x′-T) -(x-T) ∴M在曲线C 上.
反过来,同样可以证明:C 上的任意点关于( , )对称的点也在C上.
因此,C 与C关于点( , )对称.
评析:关于成中心对称的两个图形,上例实质是求中心
对称和证明中心对称的一般方法.
一般地,f(x,y)=0关于Q(a,b)成中心对称的曲线的求法:设M(x,y)是所求曲线上任意点,M关于Q对称的点是(2a-x,2b-y),所以,所求曲线为f(2a-x,2b-y)=0.
三、关于直线对称的图形
此类问题都主要借助中点公式,斜率公式,通过联解方程求对称点的坐标,即可解决.
例4:椭圆C与椭圆 + =1,关于直线x+y=0对称,椭圆C的方程是( ) A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + =1
解:设P(x,y)是C上任意点,P关于x+y=0对称的点P′(x′,y′),
∴由中点公式和斜率公式知: + =0(1) =1(2)
联解(1)(2)得:x′=-y,y=-x代入已知椭圆得: + =1,故选A.
例5:如图,已知直线L过坐标原点,抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上.若点A(-1,0)和B(0,8)关于L对称的点都在C上,求直线L和抛物线C的方程.