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高三数学第一轮复习讲义（小结） 2004.11.18
圆锥曲线
一．课前预习：
1．设抛物线y2?2x，线段AB的两个端点在抛物线上，且|AB|?3，那么线段AB的中点M到y轴的最短距离是 （ B
）
31 (B)1 (C) (D)2 22x2y22．椭圆2?2?1(a?b?0)与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A,B两点，在劣
ab弧AB上取一点C，则四边形OACB的最大面积为 （ B ）
231 ab ab (A)ab (B)(C)(D)ab
2221113．?ABC中，A为动点，B(?,0)，C(,0)，且满足sinC?sinB?sinA，则动点A222的轨迹方程是 （ D ）
1616 (A)16x2?y2?1(y?0) (B)16y2?x2?1(x?0)
33161161 (C)16x2?y2?1(x??) (D)16x2?y2?1(x?)
34344．已知直线y?x?1与椭圆mx2?ny2?1(m?n?0)相交于A,B两点，若弦AB中点的
(A)x2y214横坐标为?，则双曲线2?2?1的两条渐近线夹角的正切值是．
mn335．已知A,B,C为抛物线y?x2?1上三点，且A(?1,0)，AB?BC，当B点在抛物线上
移动时，点C的横坐标的取值范围是(??,?3][1,??)．
二．例题分析：
x2y2例1．已知双曲线C：2?2?1(a?0,b?0)，B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴
ab正半轴上，且满足|OA|,|OB|,|OF|成等比数列，过点F作双曲线在第一、三象限内的渐近线的垂线l，垂足为P， （1）求证：PA?OP?PA?FB；
（2）若l与双曲线C的左、右两支分别交于点D,E，求双曲线C的离心率e的取值范围．
a（1）证明：设l：y??(x?c)，
ba?y??(x?c)?a2ab?b由方程组?得P(,)，
bcc?y?x?a?a2∵|OA|,|OB|,|OF|成等比数列，∴A(,0)，
ca2abb2abab∴PA?(0,?)，OP?(,)，FP?(?,)，
ccccc▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓
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a2b2a2b2∴PA?OP??2，PA?FP??2，∴PA?OP?PA?FB．
cc（2）设D(x1,y1),E(x2,y2)，
a?y??(x?c)?a422a4ca4c2?b222由?2得(b?)x?x?(?ab)?0， 2222bbb?x?y?1??a2b2a4b2?(2?a2b2)2222c?0∵x1?x2?0，∴，∴，即，∴e?2． b?ac?2a4ab2?2b所以，离心率的取值范围为(2,??)． 例2．如图，过抛物线x2?4y的对称轴上任一点P(0,m)(m?0)作直线与抛物线交于A,B两点，点Q是点P关于原点的对称点，
（1）设点P分有向线段AB所成的比为?，证明：QP?(QA??QB)；
（2）设直线AB的方程是x?2y?12?0，过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．
解：（1）设直线AB的方程为y?kx?m，代入抛物线方程x2?4y得x2?4kx?4m?0 设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1x2??4m， ∵点P分有向线段AB所成的比为?，得
x1?x2x?0，∴???1， 1??x2又∵点Q是点P关于原点的对称点，∴Q(0,m)，∴QP?(0,2m)， ∴QA??QB?(x1??x2,y1??y2?(1??)m) ∴QP?(QA??QB)?2m[y1??y2?(1??)m]
y A
B P O Q x
x12x1x22x???(1?1)m] ?2m[4x24x2xx?4m?4m?4m ?2m(x1?x2)?12?2m(x1?x2)??0 4x24x2∴QP?(QA??QB)．
?x?2y?12?0（2）由?2得点A(6,9),B(?4,4)，
?x?4y11由x2?4y得y?x2，∴y??x，∴抛物线在点A处切线的斜率为y?|x?6?3，
422设圆C的方程是(x?a)?(y?b)2?r2，
1?b?9???则?a?6， 3?(a?6)2?(b?9)2?(a?4)2?(b?4)2?3232125解得a??,b?， ,r?222▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓
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∴圆C的方程是(x?)2?(y?
32232125，即x2?y2?3x?23y?72?0． )?22三．课后作业： 班级 学号 姓名 x2y2xy1．直线??1与抛物线??1相交于A,B两点，该椭圆上的点P使?ABP的
16943面积等于6，这样的点P共有 （
）
(B)2个 (C)3个 (D)4个
2．设动点P在直线x?1上，O为坐标原点，以OP为直角边，点O为直角顶点作等腰Rt?OPQ，则动点Q的轨迹是 （ ）
(C)抛物线 (A)圆 (B)两条平行线 (D)双曲线
3．设P是直线y?x?4上一点，过点P的椭圆的焦点为F1(2,0)，F2(?2,0)，则当椭圆长轴最短时，椭圆的方程为 ．
(A)1个
x2y24．椭圆??1的焦点为F1,F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那
123么|PF1|是|PF2|的 倍．
x2y25．已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1,F2，点P在双曲线的右
ab支上，且|PF1|?4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为 ．
6．直线l：y?kx?1与双曲线C：2x2?y2?1的右支交于不同的两点A,B， （1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 7．
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