内容发布更新时间 : 2025/2/22 19:03:30星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

数列专项-2

类型Ⅰ 观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。 例1.写出下列数列的一个通项公式an

（1）-1,4，-9,16，-25,36，......； （2）2,3,5,9,17,33，......。

类型Ⅱ 公式法：若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列?an?的通项an可用公式 an??,(n?1)?S1构造两式作差求解。

?Sn?Sn?1,(n?2)用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即a1和an合为一个表达，（要先分n?1和n?2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）。

例2.设数列?an?的前n项和为Sn?1?an?1?n?N? 3??（1）求a1、a2；（2）求数列an的通项公式。 例3.设数列?an?的前n项和为Sn?2an式。

类型Ⅲ 累加法： 形如an?1?an?f(n)型的递推数列（其中f(n)是关于n的函数）可构造：

?1n?N?，求证an为等比数列并求其通项公

???an?an?1?f(n?1)?a?a?f(n?2)?n?1n?2 ??...??a2?a1?f(1)将上述n?1个式子两边分别相加，可得：

an?f(n?1)?f(n?2)?...f(2)?f(1)?a1,(n?2)

适用于f(n)是可求和的情况。

①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; 例4.设数列?an?满足a1?1，an?1?an?2n?1，求数列的通项公式。

② 若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;

例5.设数列?an?满足a1?2，an?1?an?2n，求数列的通项公式。

③若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和; 例6.设数列?an?满足a1?1，an?1?an?n2?3n?1，求数列的通项公式。

④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和. 例7.设数列?an?满足a1?1，an?1?an?1，求数列的通项公式。

n(n?1)类型Ⅳ 累乘法： 形如an?1?an?f(n)??an?1??f(n)?型的递推数列（其中f(n)是关于n的函数）可构造：?an??an?a?f(n?1)?n?1?an?1?f(n?2)?a ?n?2?...??a2?a?f(1)?1将上述n?1个式子两边分别相乘，可得：

an?f(n?1)?f(n?2)?...?f(2)f(1)a1,(n?2)

有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。适用于积可求和的情况。

n?1an，求数列的通项公式。 n例9.设数列?an?满足a1?2，an?1?an?logn?1(n?2)，求数列的通项公式。

例8.设数列?an?满足a1?2，an?1?

巩固习题

1.等比数列an的前n项和Sn2.已知数列an满足an?13.已知数列an满足an?14.已知数列an满足a1通项公式。

5.在数列?an?中，a1?2n?1，则a12?a22?a32?......?an2??

?an?2?3n?1，a1?3，求数列的通项公式。 ?（2n?1）5n?an，a1?3，求数列的通项公式。

?1，an?a1?2a2?3a3?......?(n?1)an?1(n?2)，求数列的

?13，且an?1?2an?4，求数列an的通项公式。 3