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2014-2015学年海南省文昌中学高二（下）期中数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
x﹣1
1．（5分）（2014?广西）曲线y=xe在点（1，1）处切线的斜率等于（ ） A． 2e B． e C． 2 D． 1
考点： 导数的几何意义． 专题： 导数的概念及应用．
分析： 求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．
x﹣1x﹣1x﹣1
解答： 解：函数的导数为f′（x）=e+xe=（1+x）e， 当x=1时，f′（1）=2，
x﹣1
即曲线y=xe在点（1，1）处切线的斜率k=f′（1）=2， 故选：C．
点评： 本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础．
2．（5分）（2014?马鞍山三模）已知复数z1=2+i，z2=1+i，则
在平面内对应的点位于（ ）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
考点： 复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算． 专题： 计算题．
分析： 分子分母同乘以分母的共轭复数，化简复数可得对应的象限． 解答： 解：由题意可得
=
=
===，
故对应的点的坐标为：（，）在第四象限，
故选D
点评： 本题考查复数代数形式的几何意义和乘除运算，属基础题．
3．（5分）（2015春?文昌校级期中）用数学归纳法证明在验证n=1时，左边的代数式为（ ） A． ++ B． + C． D． 1
考点： 数学归纳法． 专题： 推理和证明．
分析： 分析不等式左边的项的特点，即可得出结论．
+
+…+
＞1（n∈N+）时，
解答： 解：在++…+＞1（n∈N+）中，
当n=1时，3n+1=4，
故n=1时，等式左边的项为：+
，
故选：A．
点评： 本题考查的知识点是数学归纳法的步骤，在数学归纳法中，第一步是论证n=1时结论是否成立，此时一定要分析等式两边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误．解此类问题时，注意n的取值范围．
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4．（5分）函数y=x﹣3x﹣9x（﹣2＜x＜2）有（ ） A． 极大值5，极小值﹣27 B． 极大值5，极小值﹣11 C． 极大值5，无极小值 D． 极小值﹣27，无极大值
考点： 利用导数研究函数的极值． 专题： 计算题．
分析： 求出y的导函数得到x=﹣1，x=3（因为﹣2＜x＜2，舍去），讨论当x＜﹣1时，y′＞0；当x＞﹣1时，y′＜0，得到函数极值即可．
2
解答： 解：y′=3x﹣6x﹣9=0，得x=﹣1，x=3，当x＜﹣1时，y′＞0；当x＞﹣1时，y′＜0，
当x=﹣1时，y极大值=5；x取不到3，无极小值． 故选C
点评： 考查学生利用导数研究函数极值的能力．
5．（5分）（2015春?文昌校级期中）若 A． 2 B． 3 C． 5 D． 6
考点： 定积分．
专题： 导数的概念及应用．
分析： 根据题意找出2x+的原函数，然后根据积分运算法则，两边进行计算，求出a值． 解答： 解：
2
（2x+）dx=3+ln2且a＞1，则实数a的值是（ ）
（2x+）dx=（x+lnx）|
2
2
=a+lna﹣（1+ln1）=3+ln2，a＞1，
2
∴a+lna=4+ln2=2+ln2，解得a=2，
故选：A．
点评： 此题主要考查定积分的计算，解题的关键是找到被积函数的原函数，此题是一道基础题．
2
6．（5分）（2015春?文昌校级期中）设z=log2（m﹣3m﹣3）+ilog2（m﹣3）（m∈R），若z对应的点在直线x﹣2y+1=0上，则m的值是（ ） A． B． C．
考点： 复数的基本概念．
D． 15
专题： 计算题．
2
分析： 把复数对应点（log2（m﹣3m﹣3），log2（m﹣3））代入直线x﹣2y+1=0，化简求解m即可． 解答： 解：
；
故选B．
点评： 本题考查复数的基本概念，考查计算能力，是基础题．
7．（5分）（2015春?文昌校级期中）数列{an}中，若a1=，an=a11的值为（ ）
A． ﹣1 B． C． 1 D． 2
考点： 数列递推式．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 根据数列的递推式，分别求得a2，a3，a4，发现数列是以4为周期的数列，进而根据a11=a3求得答案． 解答： 解：a1=，a2=
=2，a3=
=﹣1，a4=
=，
，（n≥2，n∈N），则
∴数列{an}是以4为周期的数列，
∴a11=a3=﹣1． 故选：A．
点评： 本题主要考查了数列的递推式．解题的关键是从数列中的找到规律．
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8．（5分）若方程x﹣3x+m=0在[0，2]上有解，则实数m的取值范围是（ ） A． [﹣2，2] B． [0，2] C． [﹣2，0] D． （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
考点： 函数在某点取得极值的条件；一元二次方程的根的分布与系数的关系． 专题： 计算题；数形结合．
分析： 因为是方程有解，转化为函数在[0，2]的函数值，利用导数求解即可．
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解答： 解：由题意方程x﹣3x+m=0在[0，2]上有解，则﹣m=x﹣3x，x∈[0，2] 求函数的值域即得实数m的取值范围
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令y=x﹣3x，x∈[0，2]
2
y'=3x﹣3
令y'＞0，解得x＞1，故此函数在[0，1]上减，在[1，2]上增， 又x=1，y=﹣2；x=2，y=2；x=0，y=0