内容发布更新时间 : 2025/2/2 16:53:30星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

专题十六 三角函数与三角恒等变换

【母题原题1】【2018浙江，18】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（

）．

（Ⅰ）求sin（α+π）的值；

（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值． 【答案】（Ⅰ） , （Ⅱ）

或

（Ⅱ）由角的终边过点由由所以

得得或

.

得.

，

，

点睛：三角函数求值的两种类型：

(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.

【母题原题2】【2017浙江，18】已知函数f?x??sinx?cosx?23sinxcosx?x?R?

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（I）求f??2??3??的值 ?（II）求f?x?的最小正周期及单调递增区间.

【答案】（I）2；（II）f?x?的最小正周期是?， ?+k?，+k??k?Z.

3?6?【解析】试题分析：本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识，同时考查运算求解能力.满分14分. （Ⅰ）由函数概念f???2???2??32?2??22?22??sin?cos?23sincos，计算可得；（Ⅱ）化简函数关系式得?3333?y?Asin??x???，结合T?2??可得周期，利用正弦函数的性质求函数的单调递增区间．

（Ⅱ）由cos2x?cos2x?sin2x与sin2x?2sinxcosx得

f?x???cos2x?3sin2x．

?????2sin?2x??．

6??所以f?x?的最小正周期是?． 由正弦函数的性质得

?2?2k??2x??6?3??2k?,k?Z， 2解得

?6?k??x?2??k?,k?Z， 32?????k?,?k??，k?Z．

3?6?所以， f?x?的单调递增区间是?

【母题原题3】【2016浙江，文11理10】已知2cosx+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A＞0)，则A=______，b=________． 【答案】2 ，1

【解析】2cos2x?sin2x?2sin(2x?)?1，所以A?2,b?1. 【考点】降幂公式，辅助角公式．

【思路点睛】解答本题时先用降幂公式化简cos2x，再用辅助角公式化简cos2x?sin2x?1，进而对照

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?4Αsin??x????b可得Α和b的值．

【命题意图】考查三角函数的概念、三角公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质，考查数学式子变形能力、运算求解能力、数形结合思想及分析问题与解决问题的能力．

【命题规律】近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与图象和性质结合考查，往往先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度仍然以中低档为主，重在对基础知识的考查，淡化特殊技巧，强调通解通法. 【答题模板】求解2017年一类问题，一般考虑： 第一步：化简三角函数式成为y?Asin??x???的形式. 第二步：代入计算函数值.

第三步：将?x??视为一个整体，利用正弦函数的性质，按要求运算求解. 【方法总结】

1. 三角函数恒等变换要注意：（1）观察式子：主要看三点

① 整体观察：整个表达式是以正余弦为主，还是正切（大多数情况是正余弦），确定后进行项的统一（有句老话：切割化弦）

② 确定研究对象：是以x作为角来变换，还是以x的表达式（例如2x）看做一个角来进行变换.

③ 式子是否齐次：看每一项（除了常数项）的系数是否一样（合角公式第二条：齐一次），若是同一个角（之前不是确定了研究对象了么）的齐二次式或是齐一次式，那么很有可能要使用合角公式，其结果成为

f?x??Asin??x???的形式.

例如：齐二次式：y?sinx?2cosxsinx?2，

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