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数学建模习题及答案

【篇一：数学建模习题答案】

t>中国地质大学 能源学院 华文静

1.在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？ 解：

模型假设

（1） 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形 （2） 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），

即从数学角度来看，地面是连续曲面。这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件

（3） 椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。为了保证这一点，要求对于椅脚的间

距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的。因为在地面上椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰（即使是连续变化的），此时三只脚是无法同时着地的。 模型建立

在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来。首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换。然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的。于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。

注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地。把长方形绕它的对称中心旋转，这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度?这一变量就表示了椅子的位置。为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题。

设椅脚连线为长方形abcd,以对角线ac所在的直线为x轴，对称中心o为原点，建立平面直角坐标系。椅子绕o点沿逆时针方向旋转角度?后，长方形abcd转至a1b1c1d1的位置，这样就可以用旋转角?（0????）表示出椅子绕点o旋转?后的位置。

其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。

由于椅子在不同的位置是?的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是?的函数。

由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是?的函数，而由假设（3）可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的?，其函数值至少有三个同时为0。因此，只需引入两个距离函数即可。考虑到长方形abcd是对称中心图形，绕其对称中心o沿逆时针方向旋转180度后，长方形位置不变，但a,c和b,d对换了。因此，记a，b两脚与地面竖直距离之和为f(?)，c,d两脚之和为g(?)，其中??0，?，使得f(?0)?模型求解 如果f(0)? ??

g(?0)成立。

g(0)?0，那么结论成立。

与g(0)不同时为零，不妨设f(0)?0,g(0)?0.这时，将长方形abcd绕点如果f(0)

o逆时针旋转角度?后，点a,b分别于与c，d互换，但长方形abcd在地面上所处的位 g(?0)；

根据连续函数介值定理，必存在?0?使得h(?0)?0,即f(?0)?（0，?），又因为f(?0)?g(?0)?0,所以f(?0)? 于是，椅子的四只脚同时着地，g(?0)?0。 放稳了。 模型讨论

2. 人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。问人、狗、鸡、米怎样过河？ 模型假设

人带着猫、鸡、米过河，从左岸到右岸，船除了需要人划之外，只能载猫、鸡、米三者之一，人不在场时猫要吃鸡，鸡要吃米。试设计一个安全过河方案，使渡河次数尽量地少。 符号说明

x1：代表人的状态，人在该左岸或船上取值为1，否则为0; x2：代表猫的状态，猫在该左岸或船上取值为1，否则为0； x3：代表鸡的状态，鸡在该左岸或船上取值为1，否则为0； x4：代表米的状态，米在该左岸或船上取值为1，否则为0:；

sk?(x1,x2,x3,x4):状态向量，代表时刻k左岸的状态； dk?(x1,x2,x3,x4):决策向量，代表时刻k船上的状态；

模型建立

限制条件：x1?0?? ?x2?x3?2 x?x?24?3

初始状态：s0?(1，1，1，1),d0?(0，0，0，0) 模型求解 根据乘法原理，四维向量共有2（x1,x2,x3,x4） 4

?16种情况根据限制条件可以排除

（0,1,1,1）（0，1,0，1）（0,0,1,1）三种情况，其余13种情况可以归入两个集合进行分配，易知

可行决策集仅有五个元素d?(1，1，1，0),(1，0，1，0),(1，0，0，1),(1，0，0，0),(0，0，,0，0),状态集有8个元素，将其进行分配，共有两种运送方案：

方案一：人先带鸡过河，然和人再回左岸，把米带过右岸，人再把鸡运回左岸，人再把猫带过右岸，最后人回来把鸡带去右岸（状态见表1）；

方案二：人先带鸡过河，然后人再回左岸，把猫带过右岸，人再把鸡运回左岸，人再把米带过右岸，最后人回来把鸡带去右岸(状态见表2)； ??

（1,1,1,1）?（0,0,0,0）目标：确定有效状态集合，使得在有限步内左岸状态由

3. 学校共1000名学生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：

（1）按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者. （2）2.1节中的q值方法.

（3）d’hondt方法： 将各宿舍的人数用正整数n?1,2,3,?相除，其商数如下表：

将所得商数从大到小取前10个(10为席位数),在数字下标以横线，表中a，b，c行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配席位.你能解释这种方法的道理吗。

如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额.将3种方法两次分配的结果列表比较.

（4）你能提出其他的方法吗.用你的方法分配上面的名额. 解：先考虑n=10的分配方案，

p1?235,p2?333,p3?432,?pi?1000 i?1 3

方法一（按比例分配）

q1?p1n?2.35,q2?p2n?3.33,q3?p3n?4

分配结果为：n1?3,n2?3,n3?4 方法二（q值方法） 9个席位的分配结果（可用按比例分配）为： n1?3,n2?3,n3?4

第10个席位：计算q值为 235233324322

q1??920417，q2??924075q3??93312 2?33?44?5

q3最大，第10个席位应给c.分配结果为n1?2,n2?3,n3?5 方法三（d’hondt方法）

原理：记pi和ni为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表a、b、c宿舍）, pi

是每席位ni

2,3…，从而得到的代表的人数，取ni=1, 接近。 pip

中选较大者，可使对所有的i，i尽量nini

所以此方法的分配结果为：n1?2,n2?3,n3?5

再考虑n?15的分配方案，类似地可得名额分配结果。现将3中方法两次分配额结果 俱乐

部只准备了一把软尺用与测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假设鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到了8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：

先用机理分析，再用数据确定参数。 模型分析

本题为了知道鱼的重量，用估计法来通过估计鱼的长度而确定鱼的重量，这种方法只能针对同一种体形相似鱼，但是一般而言世界上没有两种完全相同的东西，所以对于同一种类的鱼也有可能肥瘦不一。所以在此，我们应该先不妨假设同一种鱼它的整体形状是相似的，密度也大体上是相同的。 模型假设

（1） 设鱼的重量为?； （2） 鱼的身长记为l； 模型的构成与求解

因为我们前面假设了鱼的整体形状是相似的，密度也相同，所以鱼的重量?与身长l的立方成正比，为这两者之间的比例系数。即?? k1?3,k1为比例系数。不过常钓得较

肥的垂钓者不一定认可上面的模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待，如果只假定鱼的截面是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是??系数。

利用题中给的数据，估计模型中的系数可得：

k1?0.0146,k2?0.0322,将实际数据与模型结果比较如下表： k2d2l,k2为比例

通过机理分析，基本上满意 5.生物学家认为，对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失，建立一个动物体重与心率之间关系的模型，并用下面的数据加以检验。

【篇二：数学模型习题解答】

：姓名： 学号：

1.建立起始值=3,增量值=5.5,终止值=44的一维数组x 答案： x=(3:5.5:44)

2.写出计算 sin(30o)的程序语句.答案： sin(pi*30/180) 或 sin(pi/6)

?343.矩阵a?????7 228 3??1

??6,矩阵b?2?? ?1???3 123 1? ?

2;分别求出a?b及a与b中对应元素之间的乘积.?3?? 答案：a = [3,2,3; 4,2,6; 7,8,1] b = [1,1,1; 2,2,2; 3,3,3] a*b；a.*b 3 228 3

6。答案：det(a) 1

4计算行列式的值a?4 7