内容发布更新时间 : 2024/11/17 7:46:21星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

20．（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

设数列?an?满足an?1?2an?n?4n?1，bn?an?n?2n；

22（1）若a1?2，求证：数列?bn?为等比数列；

（2）在（1）的条件下，对于正整数2、q、r?2?q?r?，若5b2、bq、br这三项经适

当排序后能构成等差数列，求符合条件的数组?q,r?； （3）若a1?1，cn?bn?n，dn?1?11?，Mn是dn的前n项和，求不超过 cn2cn?122M2016的最大整数.

解：（1）由an?1?2an?n2?4n?1，∴an?1??n?1??2?n?1??2an?n?2n，

2??即bn?1?2bn，又b1?a1?1?1?0，

∴数列?bn?是以1为首项，2为公比的等比数列；………………………4分

n?1n?N?，5b2,bq,br这三项经适当排序后能构成等差数列； （2）由（1）知bn?2??①若2?5b2?bq?br，则10?22?1?2q?1?2r?1，∴2q?2?1?2r?2?1?5，

q?2?1??1?q?2?1?3?2??∴?r?2?1，∴?q,r???3,5?错误！未找到引用

r?2?3?5?4???2源。；………………6分

②若2bq?5b2?br，则2?2q?1?5?22?1?2r?1，∴2q?1?2?2r?2?5， 左边为偶数，右边为奇数，∴等式不成立；………………………8分 ③若2br?5b2?bq，同理也不成立；

综合①②③得，?q,r???3,5?；……………………………………10分

2（3）由a1?1?b1?1?1?2?1?0，∴bn?0，………………………12分

∴cn?0?n?n；…………………………………………………13分

n2?n?1???n?1??n21111?1?2?? 由dn?1?2?2222cncn?1n?n?1?n?n?1?222高三年级数学试卷 第6页 共8页

??n2?n?1?n2?n?1?22n2?n?111??1?dn??1??1????；

n?n?1?n?n?1??nn?1?????1????11?????1??????? 2?????23??∴M2016?d1?d2???d2016??1??1???11??11??1????2016?1??2017?. ??2016201720172017???? ∴不超过M2016的最大整数为2016………………………………………………16分

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

已知定义在R上的函数?(x)的图像是一条连续不断的曲线，且在任意区间上?(x)都不是常值函数.设a?t0?t1???ti?1?ti???tn?b，其中分点t1、t2、

?、tn?1将区间?a,b?任意划分成n(n?N*)个小区间?ti?1,ti?，记

，称为?M?a,bn,???t0(??)t1?(?)t1??(t)?(??)tn???)((x))关于区间?a,b?的2?1t(nn阶划分的“落差总和”.

当M?a,b,n?取得最大值且n取得最小值n0时，称?(x)存在“最佳划分”M?a,b,n0?.

（1）已知?(x)?x，求M??1,2,2?的最大值M0；

（2）已知??a????b?，求证：?(x)在?a,b?上存在“最佳划分”M?a,b,1?的充要条件

是?(x)在?a,b?上单调递增.

（3）若?(x)是偶函数且存在“最佳划分”M??a,a,n0?，求证：n0是偶数，且

t0?t1???ti?1?ti???tn0?0.

解：（1）M0????1????0????0????2??3.……………………………………4分 （2）若?(x)在?a,b?上单调递增，则

M?a,b,n?????(ti)??(ti?1)????b????a??M?a,b,1?，

i?1n故?(x)在?a,b?上存在“最佳划分”M?a,b,1?.……………………………………6分 若?(x)在?a,b?上存在“最佳划分”M?a,b,1?，倘若?(x)在?a,b?上不单调递增， 则存在x1,x2??a,b?,x1?x2,??x1????x2?.

高三年级数学试卷 第7页 共8页

由??a????b????a????x1????x1????x2????x2????b?………………（*） 等号当且仅当??a????x1??0,??x1????x2??0,??x2????b??0时取得，此时

??a????b????a????x1????x1????x2????x2????b????a????b??0，与题

设矛盾，舍去，故（*）式中等号不成立.即：增加分点x1,x2后，“落差总和”会增加，故

M?a,b,n?取最大值时n的最小值大于1，与条件矛盾.

所以?(x)在?a,b?上单调递增. ……………………………………………………10分 （3）由（2）的证明过程可知，在任意区间?a,b?上，若?(x)存在最佳划分M?a,b,1?，

则当??a????b?时，?(x)为常值函数（舍）；当??a????b?时，?(x)单调递增； 当??a????b?时，?(x)单调递减. ……………………………………………12分

若?(x)在?a,b?上存在最佳划分M?a,b,n0?，则此时在每个小区间

?ti?1,ti??i?1,2,?,n0?上均为最佳划分M?ti?1,ti,1?.否则，添加分点后可使?(x)在?a,b?上的“落差总和”增大，从而M?a,b,n0?不是“落差总和”的最大值，与“?(x)在?a,b?上存在最佳划分M?a,b,n0?”矛盾，故?(x)在每个小区间?ti?1,ti??i?1,2,?,n0?上都单调. …………………………………………………………………………………………14分

若?(x)在?a,b?上存在最佳划分M?a,b,n0?，则?(x)在相邻的两个区间?ti?1,ti?、

?ti,ti?1?上具有不同的单调性.否则，??t????t????t????t????t????t? ，

i?1i?1i?1i1i?1减少分点ti，“落差总和”的值不变，而n的值减少1，故n的最小值不是n0，与“?(x)在

?a,b?上存在最佳划分M?a,b,n0?”矛盾. ………………………………………………16分 ?(x)存在“最佳划分”M??a,a,n?，故?(x)在每个小区间?ti?1,ti??i?1,2,?,n0?上

0都单调.而?(x)是偶函数，故?(x)在y轴两侧的单调区间对称，共有偶数个单调区间，且当i?j?n0?i?0,1,?,??n0??时ti?tj?0，从而有t0?t1?t2???tn0?0.………18分 2?高三年级数学试卷 第8页 共8页