内容发布更新时间 : 2024/10/28 5:15:22星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

专题五 挖掘“隐零点”，破解导数压轴题

函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕利用函数的“隐零点”，破解导数压轴问题，例题说法，高效训练.

【典型例题】

类型一 挖掘“隐零点”，求参数的最值或取值范围

例1.【浙江省杭州第十四中学2019届高三12月月考】设函数y=f(x)在x=1处的切线与直线y=3x平行. (1)判断函数f(x)在区间(2)当

类型二 挖掘“隐零点”，证明不等式 例2. 设函数f(x)?e

2x,曲线

和上的单调性，并说明理由;

时,恒成立，求的取值范围.

2?alnx，设a??0,2e?求证：当x??0,1?时，f(x)?2a?aln2 a

类型三 挖掘“隐零点”，估算极值

例3.【2017年全国课标1】已知函数f（x）=ax﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0． （1）求a；

（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e＜f（x0）＜2．

﹣2

﹣2

2

【规律与方法】

“隐零点”问题：求解导数压轴题时，如果题干中未提及零点或零点不明确，依据有关理论（如函数零点的存在性定理）或函数的图象，能够判断出零点确实存在，但是无法直接求出，不妨称之为隐性零点.我们一般可对零点“设而不求”，通过一种整体的代换和过渡，再结合其他条件，从而最终解决问题．我们称这类问题为“隐零点”问题．处理此类问题的策略可考虑“函数零点存在定理”、“构造函数”、利用“函数方程思想”转化等，从操作步骤看，可遵循如下处理方法：

第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f′(x0)＝0，并结合f(x)的单调性得到零点的范围；这里应注意，确定隐性零点范围的方式是多种多样的，可以由零点的存在性定理确定，也可以由函数的图象特征得到，甚至可以由题设直接得到，等等；至于隐性零点的范围精确到多少，由所求解问题决定，因此必要时尽可能缩小其范围；