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2008年我爱数学初中生夏令营数学竞赛

说明:第一试每题50分,共150分;第二试每题15分,共150分.

第一试

1、已知当x的值分别为2、m1、m2时,多项式ax2+bx+c的值分别为0、p1、p2.如果a>b>c,并且p1p2－cp1+ap2－ac=0,那么,能否保证:当x的值分别为m1+5、m2+5时,该多项式的值中至少有一个是正数?证明你的结论.

2、在△ABC中,∠A=75°,∠B=35°,D是边BC上一点,BD=2CD. 求证:AD2=(AC+BD)(AC－CD).

3、(1)写出四个连续的正整数,使得它们中的每一个都是某个不为1的完全平方数的倍数,并指出它们分别是哪一个完全平方数的倍数;

(2)写出六个连续的正整数,使得它们中的每一个都是某个不为1的完全平方数的倍数,并指出它们分别是哪一个完全平方数的倍数,说明你的计算方法.

第二试

1、若2 008=an(－3)n+an－1(－3)n1+…+a1(－3)+a0(ai=0,±1,±2,i=0,1,…,n),

－

则an+an－1+…+a1+a0= .

2、能使关于x的方程x2－6x－2n=0(n∈N+)有整数解的n的值的个数等于 . 3、如果函数y=b的图像与函数y=x2－3|x－1|－4x－3的图像恰有三个交点,则b的可能值是 .

x44|x|4、已知a为整数,关于x的方程2+2－a=0有实数根.则a的可能值?2x?1x?1是 .

5、如果某数可以表示成91的某个倍数的数字和,就把这个数叫做“和谐数”.那么,在1,2,…,2 008中,和谐数的个数是 . 6、已知某种型号的汽车每台的售价是23万元.某工厂在一年中生产这种汽车的总成本由固定成本和生产成本两部分组成.一年的固定成本为7000万元.在这一年中生产这种汽车x辆时,生产每一辆车的生产成本为

70-x万元(0

3x汽车的销售收入不低于总成本,则至少需要生产这种汽车 辆. 7、若2008个数a1,a2,…,a2008满足a1=2,an?(2an?111?)an?=0,其中,n=2,3,…,2 2008an?12008008,那么,a2 008可能达到的最大值是 .

8、已知⊙O与直线l切于点M,⊙O外一定点A和⊙O都在直线l的同一侧.点A到直线l的距离大于⊙O的直径,点B在⊙O上.过点A作直线l的垂线AN,过点B作直线l的平

AB2行线BC,直线AN与BC交于点C.则当点B的位置在 时,的值达到最小.

AC9、在底角等于80°的等腰△ABC的两腰AB、AC上,分别取点D、E,使得∠BDC=50°,∠BEC=40°.则∠ADE=

10、从1, 2,…, 2 008中选出总和为1009000的1004个数,并且这1 004个数中的任意两数之和都不等于2 009.则这1 004个数的平方和等于 . 参考公式:12+22+…+n2=

1n(n+1)(2n+1). 6