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高考数学复习选填题专项练习07--抛物线

第I卷（选择题）

一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

21．（2020·黑龙江高三期末）若抛物线y?4x的一点P到其准线的距离为3，则点P到x轴的距离为（ ）

A．32 【答案】C 【解析】

B．2 C．22

D．42

【分析】根据抛物线定义，求解点P的横坐标，代入抛物线方程，即可求解.

2【详解】由题意，抛物线y?4x的准线方程为x??1，由P到其准线的距离为3，则有xP?2，代入抛

物线方程，解得yP??22，则点P到x轴的距离是22故答案为：22 【点睛】本题考查抛物线的准线方程，属于基础题.

12y2x22.（2020·四川省金堂中学校高三）已知抛物线y?x的焦点F是椭圆2?2?1（a?b?0）的一个

4ab焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A、B两点，若?FAB是正三角形，则椭圆的离心率为（ ）

A．

【答案】C 【解析】抛物线y?2 2B．3?1

C．

3 3D．2?1

12，x，即x2?4y，焦点为?01?，故c?1，2c?2，QnFAB为正三角形，则边长为

443 3故4a?3?c1343，a?3，e??，故选C ?a33323．（2020·新疆高三期末）已知抛物线y?4x的焦点为F，准线为l，过点F且斜率为3的直线交抛物线于点M（M在第一象限），MN?l于点N，直线NF交y轴于点D，则|MD|?（ ）

A．4

B．23 C．2

D．3

【答案】B 【解析】

【分析】设出直线方程，联立抛物线方程，求得点M的坐标，即可得N点坐标，进而可求得MF的方程，容易得点D的坐标，用两点之间的距离公式即可求得MD的长度. 【详解】根据题意，作图如下：

2由题可知，点F?1,0?，故直线FM的方程为y?3?x?1?，联立抛物线方程y?4x

可得3x2?10x?3?0，解得x?1或x?3，因为点M在第一象限，故可得M3,23. 3??23.则直线FN的方程为y??3?x?1?， 又因为准线方程为x??1，故可得N?1,?令x?0，解得y???3，即可得D0,3.故MD?9?3?23.故选B.

??【点睛】本题考查抛物线中线段长度的求解，关键是要逐步求解出点的坐标即可.

24．（2020·山西高三月考）已知点P是焦点为F的抛物线C:y?2px?p?0?上的一点，且PF?10，点Q是直线l1:2x?y?3?0与l2:x?2y?6?0的交点，若PQ?QF，则抛物线的方程为（ ）

A．y2?4x C．y2?12x 【答案】B 【解析】

2y0p,y0)，求出Q点坐标，由PQ?QF列出关于p与y0的方程可得y0的【分析】依题意，F(,0)；设P(2p2B．y2?4x或y2?36x D．y2?12x或y2?28x

值，由PF?10可得p的值，可得答案.

2?2x?y?3?0y0p,y0)，联立?【详解】依题意，F(,0)；设P(，解得x?0,y?3，故Q?0,3?，2p2?x?2y?6?0uuuruuuruuuruuurpy2py2y2QF?(,?3),QP?(0,y0?3)；因为PQ?QF，故QF?QP?(,?3)?(0,y0?3)=0?3(y0?3)?0，解得

22p22p4y0?6，且

1818pP(,6)；又由PF?10得，(?)2?36?10，解得pp2p?2或p?18，故选B.

【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程及基本性质，需灵活运用已知条件解题，属于中档题.

25.（2020·山西高三月考）已知点F是抛物线y?2px(p?0)（O为坐标原点）的焦点，倾斜角为

?的直3线l过焦点F且与抛物线在第一象限交于点A，当AF?2时，抛物线方程为（ ）

A．y2?x C．y2?4x 【答案】B 【解析】

【详解】过点A作AB?x轴于点B，则Rt?ABF中，?AFB?60,AF?2，所以

0B．y2?2x D．y2?8x

BF?AFcos?AFB?1AF?1,AB?AFsin?AFB?3，所以点A的坐标为(x0,3)，得2p?x??1?022，解得p?1，所以所求抛物线的方程为y?2x，故选B. ??(3)2?2px0?

26．（2020·汕头市潮阳实验学校高三月考）过抛物线y?2px(p?0)的焦点F且斜率大于0的直线l交抛物

线于点A,B（点A位于第一象限），交其准线于点C，若BC?3BF，且AF?3，则直线AB的方程为（ ）

A．22x?y?22?0 C．22x?y?2?0

B．2x?y?22?0 D．2x?y?2?0

【答案】A 【解析】

【分析】作出图象如下图所示，作AA1?准线于A1，BB1?准线于B1，FF1?AA1于F1.根据抛物线的定义得BB1?BF，由BC?3BF，cos?CBB1?由直线的点斜式得出直线的方程.

【详解】作出图象如下图所示，作AA1?准线于A1，BB1?准线于B1，FF1?AA1于F1.在Rt?BCB1中，

1，从而得出直线的斜率，再根据三角形相似求得p，3cos?CBB1?|BB1||BF|1??，?tan?CBB1?22，?l的斜率为22，又?BCB1:?AFF1，|BC||BC|31?|AF1|?|AF|?1，?p?|A1F1|?2，所以F?1,0?，?直线AB的方程为y?22(x?1)，即

322x?y?22?0，故选A.

【点睛】本题考查抛物线的定义，标准方程，以及直线的方程，关键在于将已知条件中的线段间的关系通过抛物线的定义转化为角的关系，得出直线的斜率，属于中档题.

27．（2020·湖南明达中学高三）已知点E是抛物线C:y?2px(p?0)的对称轴与准线的交点，点F为抛物

线C的焦点，点P在抛物线C上.在?EFP中，若sin?EFP???sin?FEP，则?的最大值为（ ）

A．【答案】C 【解析】

2 2B．

3 2C．2 D．3

【分析】利用抛物线的几何性质，求得E,F的坐标.利用抛物线的定义以及正弦定理，将题目所给等式转化为??1的形式.根据余弦函数的单调性可以求得?的最大值.

cos?PEF【详解】由题意得，准线l:x??定义可知PH?PF，于是??p?p??p?，E??,0?，F?,0?，过P作PH?l，垂足为H，则由抛物线2?2??2?sin?EFPPEPE11????，Qy?cosx在?0,??sin?FEPPFPHcos?EPHcos?PEF上为减函数，?当?PEF取到最大值时（此时直线PE与抛物线相切），计算可得直线PE的斜率为1，从

而?PEF?45?，

??max?1?2，故选C. 22

【点睛】本小题主要考查抛物线的几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，还考查了正弦定理.属于中档题.

228．（2020·宁夏大学附属中学高三月考（文））已知圆O:x?y?1，直线l:x?2y?5?0上动点P，过点

P作圆O的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（ ）

A．

1 2B．1 C．

3 2D．2

【答案】D 【解析】

【分析】根据题意作出图形，利用数形结合思想可得，当OP最小时，PA有最小值，通过几何分析可知，当OP?l时，OP有最小值，代入点到直线的距离公式求出圆心O到直线l:x?2y?5?0的距离即为

OP的最小值，利用勾股定理即可求出PA的最小值.

【详解】根据题意，作图如下: