内容发布更新时间 : 2024/6/5 4:58:27星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

因为PA为圆O的切线，所以PA?AO，在?PAO中，由勾股定理可得，

PA?PO?OA?22PO?1，

2所以当OP最小时，PA有最小值，结合图形可知，当OP?l时，OP有最小值，由点到直线的距离公式可得，

圆心O到直线l:x?2y?5?0的距离为d?值为2.故选D

【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系和切线长公式的应用；利用数形结合思想、转化与化归的思想以及点到直线的距离公式是求解本题的关键；属于中档题.

229．（2020·南昌市新建区第二中学高三）已知圆C：x?y?8y?14?0，直线l：mx?y?3m?1?0与x51???2?22?5，即OP的最小值为5，此时PA有最小

轴，y轴分别交于A，B两点.设圆C上任意一点P到直线的距离l为d，若d取最大值时，?PAB的面积（ ）

A．32 【答案】B 【解析】

【分析】直线l：mx?y?3m?1?0过定点M?3,1?，当MC?l时，圆心C到直线l的距离最大，求出最大距离d以及AB，进而可得?PAB的面积.

【详解】直线l：mx?y?3m?1?0过定点M?3,1?，圆C：x?y?8y?14?0的圆心C22B．8 C．6

D．42

?0,4?，半径

当MC?l时，圆心C到直线l的距离最大，∵kMC??1，∴kl=1，即直线l方程为x?y?2?0， r?2，则A?2,0?，B?0,?2?，AB?22，C到直线l的距离为?4?22?32，则P到直线l的最大距离

d?32?r?42，此时?PAB的面积S?1?22?42?8，故选B. 2【点睛】本题考查直线和圆的位置关系问题，找到当MC?l时，圆心C到直线l的距离最大是关键，是中档题.

210．（2020·湖南长沙一中高三月考）已知F为抛物线C:y?4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，

l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于P，Q两点，则|AB|?|PQ|的最小值为（ ）

A．16 【答案】A 【解析】

【分析】设l1的方程为x?my?1，A?x1,y1?，B?x2,y2?，直线方程代入抛物线方程用韦达定理是

B．12

C．20

D．10

y1?y2,y1y2，由弦长公式求得弦长AB，由垂直得l2方程，同理可得PQ，求出AB?PQ，应用基本

不等式可得最小值．

2【详解】设l1的方程为x?my?1，A?x1,y1?，B?x2,y2?，代入得y?4my?4?0，故 y1?y2?4m，

?1?y1y2??4．则|AB|?m2?116m2?16?4?m2?1?，同理|PQ|?4?2?1?，

?m?1??|AB|?|PQ|?4?2?m2?2?…16，当且仅当m??1时取“?”，故选A．

m??【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，采取设而不求思想求弦长．

2211．（2020·湖南长郡中学高三月考）已知A，B是圆C:x?y?8x?2y?16?0上两点，点P在抛物线

x2?2y上，当?APB取得最大值时，|AB|?（ ）

A．【答案】A 【解析】

【分析】求出圆C的圆心与半径，可得当PA，PB是圆C的切线时，?APB取得最大值，即A，B是圆

45 5B．35 5C．25 5D．5 5C的切点，利用距离公式及函数的导数求解最值，然后转化求解即可.

【详解】依题意可得，当PA，PB是圆C的切线时，?APB取得最大值，即A，B是圆C的切点，设

2??x0?APB?2?，P?x0??.∵圆C:x2?y2?8x?2y?16?0，∴圆心C(4,1)，半径为1，从而

2??sin??1， PC224?x0?x022x43∵PC??x0?4???令f(x)?则f?(x)?x?8.∴当x?2时，?1???8x0?17，?8x?17，

44?2?f?(x)?0，即函数f(x)在(??,2)上为减函数；当x?2时，f?(x)?0，即函数f(x)在(2,??)上为增函

数.∴f(x)min ?f(2)?5，即PCmin?5.∴(sin?)max?5，此时?APB最大. 5∴AB?2ACcos??2cos??45.故选A. 5【点睛】本题主要考查圆与圆锥曲线的综合及导数在函数单调性中的应用，考查学生利用数形结合的思想解决问题的能力.

22212.（2020·榆树市第一高级中学校高三期末）抛物线C:x?2py(p?0)焦点F与双曲线2y?2x?1一

个焦点重合，过点F的直线交C于点A、B，点A处的切线与x、y轴分别交于M、N，若?OMN的面积为4，则|AF|的长为（ ）

A．3 【答案】C 【解析】

B．4

C．5

D．6

?x12?【分析】双曲线的一个焦点为F?0,1?，所以p?2，设点A?x1,?，则利用导数得到A处切线方程

4??x1x12求出M,N的坐标后利用?OMN的面积为4得到x1??4，最后利用焦半径公式可求AF. y?x?，

24?x12?x1k?【详解】双曲线的一个焦点为F?0,1?，所以p?2.设点A?x1,，故抛物线在点处切线的斜率为，A?42??x12?x13?x1??x1x12x1x121切线方程为y??x?x1???x?，所以M?,0?,N?0,??，所以S?OMN??4，故

4?2424?2??28x12px1??4，AF???4?1?5，故选C.

42【点睛】若求抛物线x?2py?p?0?上点A的切线，我们一般可利用导数求出切线的斜率，再结合切线

2方程讨论相关问题.注意求焦半径的大小时应利用抛物线的焦半径公式来求.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．

213.（2020·江苏金陵中学高三开学考试）已知抛物线y?4x上一点的距离到焦点的距离为5，则这点的坐

标为_______． 【答案】(4,?4)

【解析】由抛物线定义得x?1?5,?x?4?y?4?4?y??4，即这点的坐标为?4,?4?．

2214.（2020·天津市和平区教育局高三月考）设抛物线y?2x的焦点为F，过点M(3,0)的直线与抛物线

S?BCF?相交于A,B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|?2，则?BCF与?ACF的面积之比

S?ACF__________． 【答案】

4 5【解析】设F到直线AB的距离为d，则

SVBCFSVACF1BC·dBCBB?2???设AB：y?k(x?3)代入y2?2x1AA?AC·dAC2中易得x1x2?3，从而可得xA?2,xB?3?AA??5,BB??2?SVBCF?4. ,2S52VACF215.（2020·江西省宁都中学高三月考）过抛物线C:y?2px?p?0?的焦点且斜率为2的直线与C交于A，

B两点，以AB为直径的圆与C的准线有公共点M，若点M的纵坐标为2，则p的值为______.

【答案】4. 【解析】

【分析】设A?x1,y1?,B?x2,y2?，AB中点为N分析可得以AB为直径的圆与C的准线相切.再利用点差法求点M的纵坐标即可求得p的值.

【详解】设A?x1,y1?,B?x2,y2?，AB中点为N??x1?x2y1?y2?,?，则AB?x1?x2?p，故半径为22??x1+x2+px1+x2+pp?x1?x2y1?y2?,.故以AB为直径的圆与Cx??，又中点N?到准线的距离为?22222??的准线相切，且M??y1?y2?py1?y2?,.?2，即y1?y2?4，又为切点故?2?2?2?y12?2px1y1?y22p22?y?y?2px?x??，又直线斜率为2，y1?y2?4，故???21212x1?x2y1?y2?y2?2px22?2p?p?4.故答案为：4 4【点睛】本题主要考查了点差法求解弦中点的问题，同时也考查了焦点弦与准线的性质.属于中等题型.

216.（2020·河南高三）已知点E在y轴上，点F是抛物线y?2px(p?0)的焦点，直线EF与抛物线交于

N两点，若点M为线段EF的中点，且|NF|?12，则p?__________． M， 【答案】8 【解析】

【分析】设E?0,b?，又F?22?p?2,0?，由M为EF的中点，求得E0,2p，直线EF的方程代入y?2px，?2???得4x?5px?p?0，求得点N的横坐标，利用抛物线的定义，即可求解． 【详解】设E?0,b?，又F??p??p?,0?，因为M为EF的中点，所以点M的坐标为?,y?，则?2??4??p2?pp20?b2,p，即M?，又由y?2p????p，则b?2p，即E0,2p，直线EF的方??424222??2??程为y??22x?2p，代入y?2px，得4x?5px?p?0，设N?x,y?，则x?222p5?p，解得x?p，44由抛物线的定义得：NF?p?p?12，解得：p?8． 2

【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中把直线的