内容发布更新时间 : 2024/9/28 12:49:56星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
指数函数
1．指数函数的定义：
函数y?ax(a?0且a?1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R 2.指数函数的图象和性质：
?1??1?在同一坐标系中分别作出函数y=2，y=??，y=10x，y=??的图象.
?2??10?xxx
?1?我们观察y=2，y=??，y=10x，y=
?2?xx?1???图象特征，就可以得到?10?xy?ax(a?0且a?1)的图象和性质。
图 象 a>1 650 指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨． 1．比较大小 例1 已知函数f(x)?x2?bx?c满足f(1?x)?f(1?x)，且f(0)?3，则f(bx)与 f(cx)的大小关系是_____． 分析：先求b，c的值再比较大小，要注意bx，cx的取值是否在同一单调区间内． 解：∵f(1?x)?f(1?x)， ∴函数f(x)的对称轴是x?1． 故b?2，又f(0)?3，∴c?3． ，?∞?上递增． 1?上递减，在?1 ∴函数f(x)在??∞， 若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f(3x)≥f(2x)； 若x?0，则3x?2x?1，∴f(3x)?f(2x)． 综上可得f(3x)≥f(2x)，即f(cx)≥f(bx)． 评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中 间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例2 已知(a2?2a?5)3x?(a2?2a?5)1?x，则x的取值范围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵a2?2a?5?(a?1)2?4≥4?1， ∴函数y?(a2?2a?5)x在(?∞，?∞)上是增函数， ? ∴3x?1?x，解得x?．∴x的取值范围是??∞?． ?，?141?4 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题 例3 求函数y?1?6x?2的定义域和值域． 解：由题意可得1?6x?2≥0，即6x?2≤1， 2?． ∴x?2≤0，故x≤2． ∴函数f(x)的定义域是??∞， 令t?6x?2，则y?1?t， 又∵x≤2，∴x?2≤0． ∴0?6x?2≤1，即0?t≤1． ∴0≤1?t?1，即0≤y?1． 1?． ∴函数的值域是?0， 评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响． 4．最值问题 例4 函数y?a2x?2ax?1(a?0且a?1)在区间[?11]，上有最大值14，则a的值是_______． 分析：令t?ax可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t的取值范围． 解：令t?ax，则t?0，函数y?a2x?2ax?1可化为y?(t?1)2?2，其对称轴为 t??1． ， ∴当a?1时，∵x???11?， ∴≤ax≤a，即≤t≤a． ∴当t?a时，ymax?(a?1)2?2?14． 解得a?3或a??5（舍去）； ， 当0?a?1时，∵x???11?， 1a1a ∴a≤ax≤，即a≤t≤， 1?1 ∴ t?时，ymax????1??2?14， a?a?21a1a 解得a?或a??（舍去），∴a的值是3或． 评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等． 5．解指数方程 例5 解方程3x?2?32?x?80． 解：原方程可化为9?(3x)2?80?3x?9?0，令t?3x(t?0)，上述方程可化为 1，∴3x?9，∴x?2，经检验原方程的9t2?80t?9?0，解得t?9或t??（舍去） 9131513解是x?2． 评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根． 6．图象变换及应用问题 例6 为了得到函数y?9?3x?5的图象，可以把函数y?3x的图象（ ）． A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度 D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度 分析：注意先将函数y?9?3x?5转化为t?3x?2?5，再利用图象的平移规律进行判断． 解：∵y?9?3x?5?3x?2?5，∴把函数y?3x的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数y?9?3x?5的图象，故选（C）． 评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等． 习题 1、比较下列各组数的大小： （1）若 （2）若 （3）若 （4）若 （5）若 解：（1）由故 （2）由 （3）由而 ． ．因若 ，故 ．因若 ，则 ．又 ，故 ，这与已知 ，故 ，这样 矛盾． ，这样有 ，因 ． ，故 ．又 ，故 ，故 ．又 ．从而 ，故 ． ．从 ，故 ，比较 ，比较 ，比较 ，且 与 与 与 ； ； ； ，比较a与b； ，比较a与b． 为减函数．由 ， ，且 ，此时函数 （4）应有 ．又因 （5）应有 ．从而 ，则 ．又 ．又因 ，且 ，故 ．从而 ，这与已知矛盾． 小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解． 2，曲线则 分别是指数函数 与1的大小关系是 ( ). ( 分析:首先可以根据指数函数单调性,确定 ,在 轴右侧令 ,对应的函数值由 , 和 的图象, 小到大依次为 ,故应选 . 小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识. 求最值 3，求下列函数的定义域与值域. (1)y＝2 1x?3; (2)y＝4x+2x+1+1. 1x?3解：(1)∵x-3≠0，∴y＝2 1x?3的定义域为｛x｜x∈R且x≠3｝.又∵ 1≠0，x?3∴2≠1， 1x?3∴y＝2的值域为｛y｜y>0且y≠1｝. (2)y＝4x+2x+1+1的定义域为R.∵2x>0,∴y＝4x+2x+1+1＝(2x)2+2·2x+1＝(2x+1)2>1. ∴y＝4x+2x+1+1的值域为｛y｜y>1｝. 4，已知-1≤x≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x的最大值和最小值 1解：设t=3x,因为-1≤x≤2，所以?t?9，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3即x=1时， 3f(x)取最大值12，当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。