内容发布更新时间 : 2024/4/18 19:24:45星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2013年湖南，理1，5分】复数z?i?(1?i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于（ ）

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 【答案】B

【解析】z?i?i2??1?i，对应点为(?1,1)，故在第二象限，故选B． 【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题． （2）【2013年湖南，理2，5分】某学校有男、女学生各500名．为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是

否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ）

（A）抽签法 （B）随机数法 （C）系统抽样法 （D）分层抽样法 【答案】D

【解析】总体由男生和女生组成，比例为500:500=1:1，所抽取的比例也是1:1．故拟从全体学生中抽取100名学

生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法，故选D．

【点评】本小题主要考查抽样方法，属基本题．

（3）【2013年湖南，理3，5分】在锐角中?ABC，角A，B所对的边长分别为a,b．若2asinB?3b，则角A等

于（ ）

（A）【答案】D

?12

（B）

???（C） （D）

6 433ab∴sinA?，??2R得：2sinAsinB?3sinB，

2sinAsinB【解析】∵在?ABC中，2asinB?3b，∴由正弦定理

又?ABC为锐角三角形，∴A?，故选D．

3【点评】本题考查正弦定理，将“边”化所对“角”的正弦是关键，属于基础题．

?y?2x?（4）【2013年湖南，理4，5分】若变量x,y满足约束条件?x?y?1，则x?2y的最大值是（ ）

?y??1??555（A）? （B）0 （C） （D）

223【答案】B

1d【解析】约束条件表示的可行域为如图阴影部分．令x?2y?d，即y??x?，由线性规

22145?12?划知识可得最优点为?,?，所以dmax???，故选B．

333?33?【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和

简单的线性规划等知识，属于基础题．

2（5）【2013年湖南，理5，5分】函数f?x??2lnx的图像与函数g?x??x?4x?5的图像的交点个数为（ ）

（A）3 （B）2 （C）1 （D）0 【答案】B

【解析】解法一：

设f?x?与g?x?图象的交点坐标为(x，y)，则y?2lnx，y?x2?4x?5，联立得2lnx?x2?4x?5，

令h?x??x2?4x?5?2lnx(x?0)，由h??x??2x?4?当h??x??0，即x?0,1?2??2?0得x1?1?2，x2?1?2(舍)． x时，h?x?单调递减；当h??x??0，即x?1?2,??时，h?x?单调递增．

??又∵h?1??2?0，h?2??1?2ln 2?0，h?4??5?2ln 4?0，∴h?x?与x轴必有两个交点，故选B．

1

解法二：

在同一坐标系下，画出函数f?x??2lnx的图象与函数g?x??x2?4x?5的图象如

下图：由图可知，两个函数图象共有2个交点，故选B．

【点评】求两个函数图象的交点个数，我们可以使用数形结合的思想，在同一坐标系中，

做出两个函数的图象，分析图象后，即可等到答案．

???????????????5分】 若向量c满足c?a?b?1， （6）【2013年湖南，理6，已知a,b是单位向量，a?b?0．

?则c的取值范围是（ ） （A）[2?1,2?1] （B）[2?1,2?2] （C）[1,2?1] （D）[1,2?2] 【答案】A

???【解析】由题意，不妨令a??0,1?，b??1,0?，c?(x，y)，由|c?a?b|?1得(x?1)2?(y?1)2?1，

?22c?x?y可看做(x，y)到原点的距离，而点(x，y)在以?1,1?为圆心，以1为半径的

圆上．如图所示，当点(x，y)在位置P时到原点的距离最近，在位置P?时最远，

PO?2?1，P?O?2?1，故选A．

【点评】本题考查平面向量的数量积运算，根据题意作出图象，数形结合是解决本题的有力工具． （7）【2013年湖南，理7，5分】已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视

图的面积不可能等于（ ） ．．．

（A）1 （B）2 （C）【答案】C

【解析】根据三视图中正视图与俯视图等长，故正视图中的长为2cos?，如图所示．故正视图的面

??2?12?1?<1，积为S?2cos??0????，∴1?S?2，而故面积不可能等于，故选C． 224???【点评】正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为??1,2?是解题的关键．

（8）【2013年湖南，理8，5分】在等腰直角三角形ABC中，AB=AC?4，点P是边AB上异于A,B的一点，光线从点P出发，经BC,CA发射后又回到原点P（如图）．若光线QR经过?ABC的重心，则AP等于（ ）

84（A）2 （B）1 （C） （D）

33【答案】D

【解析】以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立直角坐标系如图所示．则A?0,0?，B?4,0?，

2?12?1 （D） 22?44?C?0,4?．设?ABC的重心为D，则D点坐标为?,?．设P点坐标为?m,0?，则P点

?33?关于y轴的对称点P1为(?m,0)，因为直线BC方程为x?y?4?0，所以P点关于BC的

对称点P2为(4,4?m)，根据光线反射原理，P1，P2均在QR所在直线上，∴kP1D?kP2D，

4?4?m443即，解得，m?或m?0．当m?0时，P点与A点重合，舍去．∴m?，故选D． ?4433?m?433【点评】本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题． 二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11

三题中任选两题作答，如果全做，则按全两题记分）（二）必做题（12~16题）．

?x?t?x?3cos?（9）【2013年湖南，理9，5分】在平面直角坐标系xoy中，若直线l:? (t为参数) 过椭圆C:??y?2sin??y?t?a（?为参数）的右顶点，则常数a的值为 ．

【答案】3

2

43x2y2【解析】由题意知在直角坐标系下，直线l的方程为y?x?a，椭圆的方程为?所以其右顶点为?3,0?．由?1，

94题意知0?3?a，解得a?3．

【点评】本题考查了参数方程和普通方程的互化，考查了直线和圆锥曲线的关系，是基础题． （10）【2013年湖南，理10，5分】已知a,b,c?R，a?2b?3c?6，则a2?4b2?9c2的最小值为 ． 【答案】12

2【解析】由柯西不等式得?12?12?12??a2?4b2?9c2???a?2b?3c?，即a2?4b2?9c2?12，当a?2b?3c?2时

等号成立，所以a2?4b2?9c2的最小值为12．

【点评】本题给出等式a?2b?3c?6，求式子a2?4b2?9c2的最小值．着重考查了运用柯西不等式求最值与柯

西不等式的等号成立的条件等知识，属于中档题．

CD相交于点P，（11）【2013年湖南，理11，5分】如图，在半径为7的?O中，弦AB，PA?PB?2，

PD?1，则圆心O到弦CD的距离为 ．

3【答案】

2PC?PA·PB， 【解析】如图所示，取CD中点E，连结OE，OC．由圆内相交弦定理知PD·35?5?CD?5，OC?7．所以PC?4，则CE?，所以O到CD距离为OE??7?2????．

222??【点评】此题主要考查了相交弦定理，垂径定理，勾股定理等知识，题目有一定综合性，是中考中热

点问题．

（二）必做题（12~16题）

2（12）【2013年湖南，理12，5分】若?0xdx?9，则常数T的值为 ．

T2【答案】3

T11?1?【解析】∵?x3?'?x2，∴?x2dx?x3T?T3?0?9，∴T?3． 0033?3?【点评】本题考查定积分、微积分基本定理，属基础题． （13）【2013年湖南，理13，5分】执行如图3所示的程序框图，如果输入a?1,b?2，则输出

的a的值为 ． 【答案】9

【解析】输入a?1，b?2，不满足a?8，故a?3；a?3不满足a?8，故a?5；a?5不满

足a?8，故a?7；a?7不满足a?8，故a?9，满足a?8，终止循环．输出a?9．

【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流

程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．

x2y2（14）【2013年湖南，理14，5分】设F1,F2是双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的两个焦点，P是C上一点，若

ab?PF1?PF2?6a，且?PF1F2的最小内角为30，则C的离心率为 ．

【答案】3 ?|PF|?|PF2|?6a?|PF|?4a【解析】不妨设PF1?PF2，由?1，可得?1．∵2a?2c，∴?PF1F2?30?，

|PF|?|PF|?2a|PF|?2a?12?2222?2c???4a???2a?∴cos 30??，得c2?3a2?23ac?0，即e2?23e?3?0，∴e?3．

2?2?4a【点评】本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．

1a3? ； （15）【2013年湖南，理15，5分】设Sn为数列?an?的前n项和，则（1）Sn?(?1)nan?n,n?N?，

2（2）S1?S2?????S100? ．

3